\mathbf{X}, 3 \times 1 boyutlu, ortalama vektörü \boldsymbol{\mu} = \mathbf{0} ve varyans-… — KPSS İstatistik

$\mathbf{X}$ , $3 \times 1$ boyutlu, ortalama vektörü $\boldsymbol{\mu} = \mathbf{0}$ ve varyans-kovaryans matrisi $\mathbf{\Sigma} = 4\mathbf{I}_3$ (burada $\mathbf{I}_3$ , birim matristir) olan çok değişkenli normal dağılıma sahip bir rasgele vektördür.

\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1/4 & 0 & 0 \\ 0 & 1/4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

ve $\mathbf{B}$ , $3 \times 3$ boyutlu simetrik bir matris olmak üzere, $Q_1 = \mathbf{X}'\mathbf{A}\mathbf{X}$ ve $Q_2 = \mathbf{X}'\mathbf{B}\mathbf{X}$ karesel formları tanımlanmaktadır.

Buna göre, $Q_1$ karesel formunun dağılımı ile $Q_1$ ve $Q_2$ karesel formlarının istatistiksel olarak birbirinden bağımsız olması için $\mathbf{B}$ matrisinin sağlaması gereken koşul, aşağıdakilerin hangisinde birlikte doğru verilmiştir?

$2$ serbestlik dereceli ki-kare dağılımı; $\mathbf{AB} = \mathbf{0}$ Answer
B
$1/2$ serbestlik dereceli ki-kare dağılımı; $\mathbf{AB} = \mathbf{0}$
C
$2$ serbestlik dereceli ki-kare dağılımı; $\mathbf{AB} = \mathbf{I}_3$
D
$3$ serbestlik dereceli ki-kare dağılımı; $\mathbf{AB} = \mathbf{0}$
E
$3$ serbestlik dereceli ki-kare dağılımı; $\mathbf{AB} = \mathbf{I}_3$

Answer

Karesel formun dağılımı 2 serbestlik dereceli ki-kare dağılımıdır ve bağımsızlık koşulu AB = 0 olmalıdır.

\mathbf{X} \sim N_p(\mathbf{0}, \mathbf{\Sigma})

olduğunda

\mathbf{X}'\mathbf{A}\mathbf{X}

karesel formunun ki-kare dağılımına uyması için

\mathbf{A}\mathbf{\Sigma}

matrisi idempotent olmalıdır. Verilen

\mathbf{A}

\mathbf{\Sigma} = 4\mathbf{I}_3

değerleri ile

\mathbf{A}\mathbf{\Sigma} = \text{diag}(1, 1, 0)

elde edilir ve bu matris idempotenttir. Serbestlik derecesi, idempotent matrisin izine eşittir:

\text{iz}(\mathbf{A}\mathbf{\Sigma}) = 1+1+0 = 2

. Ayrıca,

\mathbf{X}'\mathbf{A}\mathbf{X}

\mathbf{X}'\mathbf{B}\mathbf{X}

karesel formlarının bağımsızlığı için Craig Teoremi gereğince

\mathbf{A}\mathbf{\Sigma}\mathbf{B} = \mathbf{0}

şartı sağlanmalıdır.

\mathbf{\Sigma} = 4\mathbf{I}_3

olduğundan bu koşul doğrudan

4\mathbf{A}\mathbf{B} = \mathbf{0} \implies \mathbf{AB} = \mathbf{0}

şeklinde sadeleşir.

Step-by-Step Solution

Q_1

karesel formunun dağılımını belirlemek için

\mathbf{A}\mathbf{\Sigma}

çarpım matrisi ve idempotens (eşgüçlülük) özelliği kontrol edilir.

\mathbf{A}\mathbf{\Sigma} = \mathbf{A}(4\mathbf{I}_3) = 4\mathbf{A}

işlemi sonucunda köşegen elemanları sırasıyla 1, 1, 0 olan köşegen matris elde edilir. Bu matrisin karesi kendisine eşit olduğundan idempotenttir.

Çok değişkenli normal dağılımda karesel formun ki-kare dağılması için

\mathbf{A}\mathbf{\Sigma}

matrisinin idempotent olması şarttır.

Ki-kare dağılımının serbestlik derecesi (

v

) hesaplanır.

v = \text{iz}(\mathbf{A}\mathbf{\Sigma}) = 1 + 1 + 0 = 2

bulunur.

\boldsymbol{\mu} = \mathbf{0}

olduğu için dağılım merkezi ki-karedir.

İdempotent matrislerde iz değeri, rank değerine ve dolayısıyla ki-kare dağılımının serbestlik derecesine eşittir.

Q_1

Q_2

karesel formlarının bağımsızlık koşulu formüle edilir.

Bağımsızlık için

\mathbf{A}\mathbf{\Sigma}\mathbf{B} = \mathbf{0}

olmalıdır.

\mathbf{\Sigma} = 4\mathbf{I}_3

yerine yazıldığında

4\mathbf{A}\mathbf{B} = \mathbf{0}

ve her iki taraf

4

'e bölündüğünde

\mathbf{A}\mathbf{B} = \mathbf{0}

elde edilir.

Aynı rasgele vektörden üretilen iki karesel formun bağımsız olması, ortadaki varyans-kovaryans matrisi kullanıldığında çarpımlarının sıfır matrisine eşit olmasına bağlıdır.

Key Concept

Karesel Formların Dağılımı ve Bağımsızlık Teoremi

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic