Çok değişkenli istatistiksel analizler yürüten bir araştırmacı, p boyutlu ve \boldsymbol{\… — KPSS İstatistik

Çok değişkenli istatistiksel analizler yürüten bir araştırmacı, $p$ boyutlu ve $\boldsymbol{\mu} = \mathbf{0}$ ortalama vektörüne, $\boldsymbol{\Sigma}$ pozitif tanımlı varyans-kovaryans matrisine sahip $\mathbf{X}$ rastgele vektörünü incelemektedir.

Araştırmacı, verinin yapısını analiz etmek amacıyla $\mathbf{A}$ ve $\mathbf{B}$ simetrik matrislerini kullanarak $Q_1 = \mathbf{X}'\mathbf{A}\mathbf{X}$ ve $Q_2 = \mathbf{X}'\mathbf{B}\mathbf{X}$ karesel formlarını oluşturmuştur.

Çalışmanın kuramsal altyapısı gereği, $Q_1$ istatistiğinin $k$ serbestlik dereceli ki-kare dağılımına ( $\chi^2_k$ ) uyması ve aynı zamanda $Q_2$ istatistiğinden istatistiksel olarak bağımsız olması hedeflenmektedir.

Buna göre, araştırmacının kurguladığı modelde $\mathbf{A}$ ve $\mathbf{B}$ matrislerinin aşağıdaki eşitlik sistemlerinden hangisini sağlaması istatistiksel olarak zorunludur?

$\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A} = \mathbf{A}$ , $\text{iz}(\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}) = k$ ve $\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{B} = \mathbf{0}$ Answer
B
$\mathbf{A}^2 = \mathbf{A}$ , $\text{iz}(\mathbf{A}) = k$ ve $\mathbf{A}\mathbf{B} = \mathbf{0}$
C
$\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A} = \mathbf{A}$ , $|\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}| = k$ ve $\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{B} = \mathbf{0}$
D
$\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A} = \mathbf{A}$ , $\text{iz}(\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}) = k$ ve $\mathbf{A}\mathbf{B}\boldsymbol{\Sigma} = \mathbf{0}$
E
$\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A} = \mathbf{I}$ , $\text{iz}(\mathbf{A}) = k$ ve $\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{B} = \mathbf{I}$

Answer

Doğru eşitlik sistemi; karesel formun ki-kare dağılımı için

\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A} = \mathbf{A}

ile

\text{iz}(\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}) = k

şartlarını ve bağımsızlık için

\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{B} = \mathbf{0}

şartını birlikte içeren sistemdir.

Verilen modelde

\mathbf{X}'\mathbf{A}\mathbf{X}

karesel formunun

\chi^2_k

dağılımına sahip olması için

\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}

matrisinin idempotent (

\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A} = \mathbf{A}

) ve serbestlik derecesinin matrisin izi üzerinden

\text{iz}(\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}) = k

olması zorunludur. Ayrıca

\mathbf{X}'\mathbf{A}\mathbf{X}

\mathbf{X}'\mathbf{B}\mathbf{X}

karesel formlarının istatistiksel bağımsızlığı için Craig Teoremi gereği aralarındaki ilişkinin

\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{B} = \mathbf{0}

şartını sağlaması gerekir.

Step-by-Step Solution

Karesel formun ki-kare dağılımına uyma şartını belirleme

\mathbf{X} \sim N_p(\mathbf{0}, \boldsymbol{\Sigma})

iken

\mathbf{X}'\mathbf{A}\mathbf{X} \sim \chi^2

olması için

\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}

matrisi idempotent olmalıdır. Bu, matematiksel olarak

\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma} = \mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}

demektir.

\boldsymbol{\Sigma}

pozitif tanımlı olduğundan eşitlik

\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A} = \mathbf{A}

formuna dönüşür.

Genel normal dağılımda karesel form matrisi ile varyans-kovaryans matrisinin çarpımı idempotent bir yapı sergilemelidir.

Ki-kare dağılımının serbestlik derecesini tespit etme

İlgili ki-kare dağılımının serbestlik derecesi, idempotent olan

\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}

matrisinin rankına eşittir. İdempotent matrislerde rank, matrisin izine (trace) eşit olduğundan

k = \text{iz}(\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma})

olur.

İdempotent matrislerin en önemli özelliklerinden biri rank ve iz değerlerinin birbirine eşit olmasıdır.

İki karesel formun istatistiksel bağımsızlık şartını kurma

Craig Teoremi uyarınca,

\mathbf{X}'\mathbf{A}\mathbf{X}

\mathbf{X}'\mathbf{B}\mathbf{X}

formlarının birbirinden istatistiksel olarak bağımsız olabilmesi için

\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{B} = \mathbf{0}

eşitliğinin sağlanması gerekir.

Normal dağılım altında karesel formların bağımsızlığı, matrisler arasına giren kovaryans yapısının çarpım sonucunu sıfırlamasına dayanır.

Key Concept

Craig Teoremi ve Karesel Formların Dağılımı

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic