Bir endüstri mühendisi, üretilen sensörlerin p farklı hassasiyet ölçümünü p \times 1 boyut… — KPSS İstatistik

Bir endüstri mühendisi, üretilen sensörlerin $p$ farklı hassasiyet ölçümünü $p \times 1$ boyutlu $\mathbf{X}$ rastgele vektörü ile modellemektedir. Bu vektörün $\mathbf{X} \sim N_p(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma})$ dağılışına sahip olduğu (burada $\boldsymbol{\Sigma}$ pozitif tanımlıdır) bilinmektedir. Mühendis, sensörlerin kalibrasyon hatalarını özetlemek için $\mathbf{A}$ simetrik bir matris olmak üzere, $Q = (\mathbf{X} - \boldsymbol{\mu})'\mathbf{A}(\mathbf{X} - \boldsymbol{\mu})$ şeklinde bir karesel form tanımlamıştır.

Bu $Q$ karesel formunun $k$ serbestlik dereceli merkezi ki-kare ( $\chi^2_k$ ) dağılımına sahip olması için gerek ve yeter şart aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?

A
$\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}$ çarpım matrisinin idempotent olması ve determinantının $k$ değerine eşit olması
B
$\mathbf{A}$ ve $\boldsymbol{\Sigma}$ matrislerinin çarpma işleminde değişmeli ( $\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma} = \boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A}$ ) olması ve $\text{rank}(\mathbf{A}) = k$ olması
$\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}$ çarpım matrisinin idempotent olması ve $\text{iz}(\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}) = k$ olmasıAnswer
D
$\mathbf{X}$ vektörünün bileşenlerinin marjinal olarak standart normal dağılıma sahip olması ve $\text{iz}(\mathbf{A}) = k$ olması
E
Sadece $\mathbf{A}$ matrisinin varyans-kovaryans matrisinin tersine ( $\boldsymbol{\Sigma}^{-1}$ ) eşit olması ve $p = k$ olması

Answer

Doğru yanıt, karesel formun ki-kare dağılımına sahip olmasının katsayılar matrisi ile varyans-kovaryans matrisinin çarpımının idempotent olmasını ve izinin serbestlik derecesine eşitliğini belirten seçenektir.

Çok değişkenli istatistikteki temel teoremlere (örneğin Craig Teoremi) göre,

\mathbf{X} \sim N_p(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma})

iken

(\mathbf{X} - \boldsymbol{\mu})'\mathbf{A}(\mathbf{X} - \boldsymbol{\mu})

karesel formunun ki-kare dağılımına uyması için gerek ve yeter şart, katsayılar matrisi

\mathbf{A}

ile varyans-kovaryans matrisi

\boldsymbol{\Sigma}

'nın çarpımının (yani

\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}

) idempotent bir matris olmasıdır. Ayrıca ki-kare dağılımının serbestlik derecesi, bu matrisin rankına eşittir. İdempotent matrislerin rankı her zaman kendi izine (köşegen elemanlarının toplamına) eşit olduğundan, serbestlik derecesi

k = \text{iz}(\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma})

koşulu ile kesin olarak belirlenir.

Step-by-Step Solution

Karesel formun dağılım özelliklerini tanımlama

Çok değişkenli normal dağılıma sahip

\mathbf{X}

vektörü için

Q = (\mathbf{X} - \boldsymbol{\mu})'\mathbf{A}(\mathbf{X} - \boldsymbol{\mu})

karesel formunun dağılımı incelenir.

Soru, belirli bir karesel formun ki-kare dağılımına sahip olma koşulunu araştırmamızı istemektedir.

Ki-kare dağılımı için gerekli temel şartı belirleme

İlgili istatistiksel teoremlere göre, bu formun ki-kare dağılması için

\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}

çarpım matrisinin idempotent (yani

(\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma})^2 = \mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}

) olması zorunludur.

Karesel formların ortogonal dönüşümler altında standart normal değişkenlerin kareleri toplamına dönüştürülebilmesi, ancak dönüşüm matrisinin idempotent yapıda olmasıyla mümkündür.

Serbestlik derecesini hesaplama kuralını uygulama

Ki-kare dağılımının serbestlik derecesi (

k

), idempotent olan

\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}

matrisinin rankına eşittir. İdempotent matrislerde rank, matrisin köşegen elemanları toplamına (trace / iz) eşit olduğundan

k = \text{iz}(\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma})

olarak bulunur.

İdempotent matrislerin özdeğerleri yalnızca 0 ve 1'dir. Sıfırdan farklı özdeğerlerin sayısı rankı verir, bu da özdeğerlerin toplamına (iz değerine) denktir.

Key Concept

Karesel Formların Ki-Kare Dağılımına Uygunluğu ve İdempotent Matrisler

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic