Bir epidemiyolog, bir virüsün üç farklı genetik varyantının hücrelere bağlanma sürelerini … — KPSS İstatistik

Bir epidemiyolog, bir virüsün üç farklı genetik varyantının hücrelere bağlanma sürelerini incelemektedir. Bu sürelere ait sapma ölçümlerini içeren $3 \times 1$ boyutlu $\mathbf{X}$ rastgele vektörünün, ortalama vektörü $\boldsymbol{\mu} = \mathbf{0}$ ve pozitif tanımlı varyans-kovaryans matrisi $\boldsymbol{\Sigma}$ olan çok değişkenli normal dağılıma sahip olduğu ( $\mathbf{X} \sim N_3(\mathbf{0}, \boldsymbol{\Sigma})$ ) bilinmektedir. Araştırmacı, bu ölçümleri ağırlıklandıran simetrik bir $\mathbf{A}$ matrisi kullanarak $Q = \mathbf{X}'\mathbf{A}\mathbf{X}$ şeklinde genel bir enfeksiyon riski indeksi tanımlamıştır.

İstatistiksel çıkarsamalar yapabilmek için tanımlanan $Q$ indeksinin $k$ serbestlik dereceli bir Ki-kare ( $\chi^2$ ) dağılımına uyması gerekmektedir.

Buna göre, $Q$ karesel formunun $\chi^2_{(k)}$ dağılımına sahip olması için sağlanması gereken gerekli ve yeterli koşul aşağıdakilerden hangisidir?

$\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}$ matrisinin idempotent olması ve serbestlik derecesinin $k = \text{iz}(\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma})$ eşitliğiyle belirlenmesiAnswer
B
Yalnızca $\mathbf{A}$ matrisinin idempotent olması ve serbestlik derecesinin $k = \text{iz}(\mathbf{A})$ eşitliğiyle belirlenmesi
C
$\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}$ matrisinin idempotent olması ve serbestlik derecesinin $k = \text{det}(\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma})$ eşitliğiyle belirlenmesi
D
$\mathbf{A}$ ve $\boldsymbol{\Sigma}$ matrislerinin değişmeli ( $\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma} = \boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A}$ ) olması ve serbestlik derecesinin $k = 3$ olarak alınması
E
$\mathbf{A}$ matrisinin pozitif tanımlı olması ve serbestlik derecesinin $k = \text{det}(\mathbf{A}) + \text{det}(\boldsymbol{\Sigma})$ ile belirlenmesi

Answer

Gerekli ve yeterli koşul, ağırlık matrisi ile varyans-kovaryans matrisinin çarpımının (AΣ) idempotent olması ve serbestlik derecesinin bu çarpım matrisinin izine (trace) eşit olmasıdır.

Çok değişkenli normal dağılıma sahip X ~ N(0, Σ) vektörü için Q = X'AX karesel formunun Ki-kare dağılımına sahip olabilmesi için kuramsal koşul, AΣ çarpım matrisinin idempotent (kendisinin karesine eşit) olmasıdır. Bu koşul sağlandığında, Ki-kare dağılımının serbestlik derecesi matrisin rankına denk gelir. İdempotent matrislerin en önemli özelliği ranklarının izine (trace) eşit olmasıdır. Dolayısıyla doğru kural, (AΣ)² = AΣ olması ve k = iz(AΣ) olmasıdır.

Step-by-Step Solution

Çok değişkenli normal dağılıma sahip bir vektörün karesel formunun dağılım teoremini kurmak.

X ~ N(0, Σ) iken, Q = X'AX karesel formunun χ² dağılması için gerekli ve yeterli temel koşul (AΣ)² = AΣ (yani AΣ matrisinin idempotent olması) kuralı hatırlanır.

Karesel formların standart normal dağılıma dönüştürülerek elde edilen karakteristik fonksiyonu, dağılımın Ki-kare olabilmesi için tam olarak bu şartı gerektirir.

Ki-kare dağılımının serbestlik derecesinin nasıl hesaplandığını belirlemek.

İdempotent bir matrisin rankı izine (trace) eşittir. Bu nedenle dağılımın serbestlik derecesi k = iz(AΣ) olarak bulunur.

Ki-kare dağılımında serbestlik derecesi, bağımsız standart normal değişkenlerin karelerinin toplamı sayısına (rank'a) eşdeğerdir.

Key Concept

Karesel Formların Dağılım Teoremleri

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic