Bir fabrikada üretim hattında görev yapan 2 adet birbirinin aynısı özel endüstriyel robot … — KPSS İstatistik

Bir fabrikada üretim hattında görev yapan 2 adet birbirinin aynısı özel endüstriyel robot bulunmaktadır. Herhangi bir anda arızalı robot sayısı $X(t) \in \{0, 1, 2\}$ olmak üzere, sistem sürekli zamanlı bir doğum-ölüm süreci (CTMC) olarak modellenmektedir.

Sisteme ait arıza (doğum) ve onarım (ölüm) hızları aşağıdaki gibidir:
- İki robot da çalışırken arıza meydana gelme hızı haftada 3'tür ( $\lambda_0 = 3$ ).
- Bir robot arızalıyken diğerinin arızalanma hızı haftada 2'dir ( $\lambda_1 = 2$ ).
- Bir robot arızalıyken bakım ekibinin onarım hızı haftada 4'tür ( $\mu_1 = 4$ ).
- İki robot birden arızalandığında dışarıdan acil destek ekibi gelmekte ve sistemden çıkan (onarılan) robot hızı haftada 5'e yükselmektedir ( $\mu_2 = 5$ ).
- Tam kapasite durumunda (2 arızalı robot) yeni arıza oluşamaz ( $\lambda_2 = 0$ ).

Buna göre, bu fabrikada uzun dönemde (kararlı durumda) her iki robotun da aynı anda arızalı olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

A
$\frac{1}{6}$
B
$\frac{9}{37}$
$\frac{6}{41}$ Answer
D
$\frac{10}{17}$
E
$\frac{12}{47}$

Answer

Uzun dönemde (kararlı durumda) her iki robotun da aynı anda arızalı olma olasılığı

\frac{6}{41}

'dir.

Bu problem sürekli zamanlı bir doğum-ölüm süreci olarak modellendiğinden, uzun dönem (kararlı durum) olasılıkları

\pi_n

ardışık durumların denge denklemleri olan

\lambda_{n-1}\pi_{n-1} = \mu_n\pi_n

eşitliğinden bulunur. Oranlar yerine konulduğunda

\pi_1 = \frac{3}{4}\pi_0

\pi_2 = \frac{3}{10}\pi_0

eşitlikleri elde edilir. Tüm olasılıkların toplamının 1 olması gerektiğinden yola çıkarak

\pi_0(1 + 0.75 + 0.3) = 1

denklemi çözülür. Buradan

\pi_0 = \frac{20}{41}

ve hedeflenen olasılık olan

\pi_2 = \frac{6}{41}

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

Kararlı durum (steady-state) denge denklemlerini (balance equations) kurma

\lambda_0 \pi_0 = \mu_1 \pi_1

\lambda_1 \pi_1 = \mu_2 \pi_2

Sürekli zamanlı doğum-ölüm süreçlerinde ardışık durumlar arası akış dengede olmalıdır.

Verilen geçiş hızlarını denklemlere yerleştirme

3\pi_0 = 4\pi_1 \implies \pi_1 = \frac{3}{4}\pi_0

2\pi_1 = 5\pi_2 \implies 2(\frac{3}{4}\pi_0) = 5\pi_2 \implies \pi_2 = \frac{3}{10}\pi_0

Durum olasılıklarını birbirleri cinsinden yazarak ortak bir bilinmeyene (

\pi_0

) bağlamak için.

Tüm olasılıkların toplamını 1'e eşitleme

\pi_0 + \frac{3}{4}\pi_0 + \frac{3}{10}\pi_0 = 1

Sistemin herhangi bir anda mutlaka

\{0, 1, 2\}

durumlarından birinde bulunma zorunluluğundan.

Denklemi çözerek

\pi_2

olasılığını hesaplama

\pi_0(1 + \frac{15}{20} + \frac{6}{20}) = 1 \implies \frac{41}{20}\pi_0 = 1 \implies \pi_0 = \frac{20}{41}

. Buradan

\pi_2 = \frac{3}{10} \times \frac{20}{41} = \frac{6}{41}

İstenen değer sistemin tam kapasite (2 arıza) durumunda olma olasılığıdır.

Key Concept

Sürekli Zamanlı Doğum-Ölüm Süreçlerinde Kararlı Durum (Steady-State) Analizi

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic