Bir sigorta şirketinde, gelen hasar taleplerinin büyüklüğü X rassal değişkeni ile modellen… — KPSS İstatistik

Bir sigorta şirketinde, gelen hasar taleplerinin büyüklüğü $X$ rassal değişkeni ile modellenmektedir. $X$ 'in olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

f(x; \theta) = \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta}, \quad x > 0, \quad \theta > 0

$\theta$ parametresini tahmin etmek için rastgele seçilen $n$ adet bağımsız hasar talebinden ( $X_1, X_2, \dots, X_n$ ) oluşan bir örneklem alınmıştır. Bir aktüerya uzmanı, $\theta$ parametresi için $T = \frac{n}{n+1}\bar{X}$ tahmin edicisini önermiştir.

Buna göre, $T$ tahmin edicisinin $\theta$ için hata kareler ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?

$\frac{1}{n+1}\theta^2$ Answer
B
$\frac{n}{(n+1)^2}\theta^2$
C
$\frac{1}{(n+1)^2}\theta^2$
D
$\frac{n+2}{(n+1)^2}\theta^2$
E
$\frac{1}{n}\theta^2$

Answer

Tahmin edicinin hata kareler ortalaması (MSE), varyansı ile yan miktarının karesinin toplamı olan

\frac{1}{n+1}\theta^2

değerine eşittir.

Verilen üstel dağılımın beklenen değeri

E[X] = \theta

ve varyansı

Var(X) = \theta^2

'dir.

T = \frac{n}{n+1}\bar{X}

tahmin edicisinin hata kareler ortalamasını bulmak için MSE formülü

MSE(T) = Var(T) + [Yan(T)]^2

uygulanır. Beklenen değer

E[T] = \frac{n}{n+1}\theta

olduğundan yan miktarı

-\frac{1}{n+1}\theta

, karesi ise

\frac{1}{(n+1)^2}\theta^2

olur. Varyans

Var(T) = \left(\frac{n}{n+1}\right)^2 \frac{\theta^2}{n} = \frac{n}{(n+1)^2}\theta^2

hesaplanır. İki değer toplandığında

\frac{n}{(n+1)^2}\theta^2 + \frac{1}{(n+1)^2}\theta^2 = \frac{n+1}{(n+1)^2}\theta^2 = \frac{1}{n+1}\theta^2

doğru sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

X

rassal değişkeninin ve örneklem ortalamasının (

\bar{X}

) beklenen değer ile varyansını belirle.

E[X] = \theta

Var(X) = \theta^2

olduğu için

E[\bar{X}] = \theta

Var(\bar{X}) = \frac{\theta^2}{n}

olur.

T

tahmin edicisinin özelliklerini bulmak için temel kitle ve örneklem istatistiklerine ihtiyaç vardır.

T

tahmin edicisinin beklenen değerini ve yan miktarını (Bias) hesapla.

E[T] = E\left[\frac{n}{n+1}\bar{X}\right] = \frac{n}{n+1}\theta

. Yan miktarı:

Yan(T) = E[T] - \theta = -\frac{1}{n+1}\theta

MSE formülündeki

Yan(T)^2

terimini bulmak için yansızlık durumu kontrol edilmelidir.

T

tahmin edicisinin varyansını hesapla.

Var(T) = Var\left(\frac{n}{n+1}\bar{X}\right) = \left(\frac{n}{n+1}\right)^2 Var(\bar{X}) = \frac{n^2}{(n+1)^2} \frac{\theta^2}{n} = \frac{n}{(n+1)^2}\theta^2

MSE formülündeki diğer bileşen olan varyans değerine ulaşmak gereklidir.

MSE formülünü (

MSE(T) = Var(T) + Yan(T)^2

) kullanarak sonucu bul.

MSE(T) = \frac{n}{(n+1)^2}\theta^2 + \left(-\frac{1}{n+1}\theta\right)^2 = \frac{n+1}{(n+1)^2}\theta^2 = \frac{1}{n+1}\theta^2

Tahmin edicinin toplam hatasını (MSE) elde etmek için varyans ve yan karesi toplanır.

Key Concept

Hata Kareler Ortalaması (MSE) Hesaplaması

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic