Bir araştırmacı, bir mağazanın günlük satış miktarını (Y), o günkü reklam harcaması (X) ve… — KPSS İstatistik

Bir araştırmacı, bir mağazanın günlük satış miktarını ( $Y$ ), o günkü reklam harcaması ( $X$ ) ve mevsimsellik faktörlerini kullanarak modellemek istemektedir. Kukla değişken tuzağına (tam çoklu doğrusal bağlantı) düşmemek için iki farklı eşdeğer regresyon modeli tahmin etmiştir:

Model I (Sabit terimsiz model): Dört mevsimin her biri için ayrı bir kukla değişken (

D_1

: İlkbahar,

D_2

: Yaz,

D_3

: Sonbahar,

D_4

: Kış) modele dahil edilmiş, ancak sabit terim modelden dışlanmıştır.

Y_i = \alpha_1 D_{1i} + \alpha_2 D_{2i} + \alpha_3 D_{3i} + \alpha_4 D_{4i} + \theta X_i + u_i

Model II (Sabit terimli model): Kış mevsimi (

D_4

) temel (baz) kategori olarak belirlenip modele dahil edilmemiş; sabit terim ile birlikte İlkbahar (

D_1

), Yaz (

D_2

) ve Sonbahar (

D_3

) kukla değişkenleri modele eklenmiştir.

Y_i = \beta_0 + \beta_1 D_{1i} + \beta_2 D_{2i} + \beta_3 D_{3i} + \gamma X_i + v_i

Her iki model de aynı veri seti kullanılarak En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle tahmin edilmiştir. Buna göre, Model II'deki İlkbahar mevsimi kukla değişken katsayısının ( $\beta_1$ ) ve sabit terimin ( $\beta_0$ ) Model I'deki parametreler cinsinden eşdeğeri aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

$\beta_1 = \alpha_1 - \alpha_4$ ve $\beta_0 = \alpha_4$ Answer
B
$\beta_1 = \alpha_1$ ve $\beta_0 = \alpha_4$
C
$\beta_1 = \alpha_1 - \alpha_4$ ve $\beta_0 = 0$
D
$\beta_1 = \alpha_1 + \alpha_4$ ve $\beta_0 = \alpha_4$
E
$\beta_1 = \alpha_1$ ve $\beta_0 = \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4$

Answer

Model II'deki İlkbahar katsayısı

\beta_1 = \alpha_1 - \alpha_4

ve sabit terim

\beta_0 = \alpha_4

olarak hesaplanır.

İki model yapısal olarak aynı tahminleri üretir. Baz kategori olan Kış mevsiminde, Model II'nin beklenen değeri yalnızca sabit terime (

\beta_0

) eşittir. Model I'de ise Kış mevsiminin beklenen değeri

\alpha_4

'tür. Bu sebeple

\beta_0 = \alpha_4

olmak zorundadır. İlkbahar mevsimi için Model I'in ürettiği toplam etki

\alpha_1

iken, Model II'nin ürettiği toplam etki

\beta_0 + \beta_1

'dir. Bu iki ifade eşitlendiğinde (

\alpha_1 = \alpha_4 + \beta_1

), İlkbahar katsayısı

\beta_1 = \alpha_1 - \alpha_4

olarak hesaplanır. Bu durum, sabit terimli regresyonlarda kukla değişkenlerin 'baz kategori ile olan farkı' verdiğini matematiksel olarak kanıtlar.

Step-by-Step Solution

Kış mevsimi (baz kategori) için her iki modelin beklenen satış değeri denklemlerini yazmak.

Kışın

D_1=0, D_2=0, D_3=0, D_4=1

'dir. Model I'de:

E(Y|Kış) = \alpha_4 + \theta X

. Model II'de:

E(Y|Kış) = \beta_0 + \gamma X

İki model eşdeğer olduğundan, aynı koşullar altında aynı tahmini üretmeleri gerekir.

Kış mevsimi denklemlerini eşitleyerek sabit terimin (

\beta_0

) karşılığını bulmak.

\alpha_4 + \theta X = \beta_0 + \gamma X

eşitliğinden

\beta_0 = \alpha_4

\gamma = \theta

elde edilir.

Model II'deki sabit terim her zaman dışlanan (baz) kategorinin kesişim parametresini temsil eder.

İlkbahar mevsimi için her iki modelin beklenen satış değeri denklemlerini yazmak.

İlkbaharda

D_1=1

, diğerleri 0'dır. Model I'de:

E(Y|İlkbahar) = \alpha_1 + \theta X

. Model II'de:

E(Y|İlkbahar) = \beta_0 + \beta_1 + \gamma X

İlkbahar kukla değişken katsayısının (

\beta_1

) yapısal karşılığını izole etmek.

İlkbahar denklemlerini eşitleyerek

\beta_1

'i çözmek.

\alpha_1 + \theta X = \beta_0 + \beta_1 + \gamma X

olur.

\gamma = \theta

\beta_0 = \alpha_4

yerlerine konursa:

\alpha_1 = \alpha_4 + \beta_1

elde edilir. Buradan

\beta_1 = \alpha_1 - \alpha_4

bulunur.

Sabit terimli bir modelde herhangi bir grubun katsayısı, o grubun baz gruba göre oluşturduğu marjinal farkı (eğimler sabitken kesişim farkını) ölçer.

Key Concept

Kukla değişken modellerinde alternatif spesifikasyonlar ve katsayıların yorumlanması (fark vs. mutlak değer).

Estimated Time:2m 30s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic