Bir tarım müdürlüğü tarafından bölgedeki tarım arazilerinin yıllık verimlilik denetimleri … — KPSS İstatistik

Bir tarım müdürlüğü tarafından bölgedeki tarım arazilerinin yıllık verimlilik denetimleri yapılmaktadır. Geçmiş verilere göre, incelenen her bir arazinin verimlilik durumu dört farklı kategoride sınıflandırılmaktadır:

- Yüksek Verimli ( $X_1$ ): %40 olasılık
- Orta Verimli ( $X_2$ ): %30 olasılık
- Düşük Verimli ( $X_3$ ): %20 olasılık
- Verimsiz ( $X_4$ ): %10 olasılık

Rastgele ve birbirinden bağımsız olarak 200 tarım arazisi incelenmiştir. Tüm arazilerin verimlilik durumlarının toplamı tam olarak 200'e eşittir.

Buna göre, orta verimli arazi sayısı ile düşük verimli arazi sayısı arasındaki kovaryans $Cov(X_2, X_3)$ ve yüksek verimli arazi sayısının varyansı $Var(X_1)$ değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

$-12$ ve $48$ Answer
B
$12$ ve $48$
C
$0$ ve $48$
D
$-12$ ve $80$
E
$-42$ ve $80$

Answer

Orta ve düşük verimli araziler arasındaki kovaryans -12, yüksek verimli arazilerin varyansı ise 48'dir.

Verilen problemde sabit

n=200

deneme ve 4 farklı sonuç (kategori) bulunmaktadır, bu da durumun Multinomiyal Dağılım olduğunu gösterir. Multinomiyal dağılımda herhangi iki

X_i

X_j

değişkeni arasındaki kovaryans

Cov(X_i, X_j) = -n p_i p_j

formülü ile hesaplanır. Buna göre

Cov(X_2, X_3) = -200 cdot 0,30 cdot 0,20 = -12

bulunur. Herhangi bir

X_i

değişkeninin marjinal varyansı ise

Var(X_i) = n p_i (1-p_i)

formülü ile hesaplanır.

X_1

'in varyansı

Var(X_1) = 200 cdot 0,40 cdot 0,60 = 48

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

Dağılım parametrelerini ve incelenen değişkenleri belirleyin.

n = 200

p_1 = 0,40

p_2 = 0,30

p_3 = 0,20

p_4 = 0,10

. Toplam olasılık 1'dir ve durum multinomiyal dağılıma uymaktadır.

Değişkenlerin sayımları toplamı sabit bir

n

değerine eşit olduğu için çok değişkenli olasılık yapısının multinomiyal olduğunu doğrulamak gereklidir.

Orta verimli (

X_2

) ve düşük verimli (

X_3

) araziler arasındaki kovaryansı hesaplayın.

Cov(X_2, X_3) = -n cdot p_2 cdot p_3 = -200 cdot 0,30 cdot 0,20 = -200 cdot 0,06 = -12

Multinomiyal dağılımda, toplam gözlem sayısı sabit olduğundan herhangi bir kategorideki artış diğerlerinde azalışa neden olur. Bu nedenle iki farklı kategori arasındaki kovaryans daima negatiftir ve

-n p_i p_j

formülü ile bulunur.

Yüksek verimli arazilerin (

X_1

) varyansını hesaplayın.

Var(X_1) = n cdot p_1 cdot (1 - p_1) = 200 cdot 0,40 cdot (1 - 0,40) = 200 cdot 0,40 cdot 0,60 = 200 cdot 0,24 = 48

Multinomiyal dağılımda herhangi bir tekil kategorinin marjinal dağılımı Binom dağılımıdır. Bu nedenle varyans hesabı Binom varyans formülü olan

np(1-p)

ile yapılır.

Key Concept

Multinomiyal Dağılımda Varyans ve Kovaryans

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic