n adet gözlem ve (sabit terim hariç) k adet bağımsız değişken içeren bir çoklu doğrusal re… — KPSS İstatistik

$n$ adet gözlem ve (sabit terim hariç) $k$ adet bağımsız değişken içeren bir çoklu doğrusal regresyon modelinin matris gösterimi $Y = X\beta + u$ şeklindedir.

En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle elde edilen tahmin değerleri vektörü $\hat{Y}$ , bağımlı değişken vektörü $Y$ 'nin bir doğrusal dönüşümü olarak $\hat{Y} = HY$ eşitliği ile yazılabilir. Burada $H = X(X'X)^{-1}X'$ ifadesi "Şapka (Hat) Matrisi" olarak adlandırılır.

Buna göre, $H$ matrisinin boyutu ve ana köşegen üzerindeki elemanlarının toplamını ifade eden izi ( $Tr(H)$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

$n \times n$ ve $k + 1$ Answer
B
$n \times n$ ve $n - k - 1$
C
$(k+1) \times (k+1)$ ve $k + 1$
D
$(k+1) \times (k+1)$ ve $n - k - 1$
E
$n \times (k+1)$ ve $n$

Answer

Şapka (Hat) matrisinin boyutu

n \times n

ve izi

k + 1

'dir.

Y = X\beta + u

modelinde, model tarafından üretilen

\hat{Y}

tahmin vektörü

n \times 1

boyutundadır.

\hat{Y} = HY

eşitliği kullanıldığında,

n \times 1

boyutunda bir sonuç vektörü elde etmek için

Y_{n \times 1}

vektörünün

n \times n

boyutunda bir kare matris ile çarpılması gerekir. Dolayısıyla,

H = X(X'X)^{-1}X'

matrisi

n \times n

boyutundadır. İzi ise matris cebirindeki yer değiştirme özelliğiyle (

Tr(ABC) = Tr(CAB)

) hesaplanır:

Tr(H) = Tr[X(X'X)^{-1}X'] = Tr[X'X(X'X)^{-1}]

. Bir matrisin tersi ile çarpımı birim matris üreteceğinden ifade

Tr(I)

olur. Burada

(X'X)

matrisi

(k+1) \times (k+1)

boyutunda olduğundan

I

birim matrisi de

(k+1) \times (k+1)

boyutundadır. Bu birim matrisin izi (ana köşegenindeki 1'lerin toplamı)

k+1

'e eşittir.

Step-by-Step Solution

H

matrisinin içindeki her bir alt matrisin boyutunu listeleme.

X

matrisi

n \times (k+1)

(X'X)^{-1}

matrisi

(k+1) \times (k+1)

X'

matrisi

(k+1) \times n

boyutundadır.

Çarpım matrisinin boyutunu bulmak için matris çarpım kuralını (iç boyutların eşleşmesi, dış boyutların sonuç olması) uygulamak gerekir.

Uç matris boyutlarına bakarak

H

matrisinin son boyutunu hesaplama.

H = X_{n \times (k+1)} \times ((X'X)^{-1}X')_{(k+1) \times n} \implies n \times n

boyutunda bir kare matris elde edilir.

\hat{Y} = HY

işleminde

n \times 1

vektörü elde edilmesi için

H

'nin

n \times n

boyutunda olması teorik olarak da zorunludur.

İz (trace) operatörünün

Tr(AB) = Tr(BA)

özelliğini üçlü matris çarpımına uygulama.

Tr(X(X'X)^{-1}X') = Tr(X'X(X'X)^{-1}) = Tr(I_{k+1})

işlemine dönüşür.

İz işleminde çarpım sırası döngüsel olarak değiştirilebilir. Bu sayede karmaşık ters matris işlemi sadeleşerek birim matrisin izi problemine indirgenir.

Birim matrisin (

I_{k+1}

) izini hesaplama.

(k+1) \times (k+1)

boyutundaki birim matrisin köşegeninde

(k+1)

adet 1 bulunur. Toplamları

k+1

olur.

Kare matrisin izi, ana köşegen üzerindeki elemanların toplamıdır.

Key Concept

Şapka Matrisinin (Hat Matrix) Boyutu ve İz Özelliği

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic