Ekonometrik analizlerde vektör uzayı yaklaşımı kullanılarak, n gözlemden oluşan bağımlı de… — KPSS İstatistik

Ekonometrik analizlerde vektör uzayı yaklaşımı kullanılarak, $n$ gözlemden oluşan bağımlı değişken vektörü $Y$ , $X$ matrisinin oluşturduğu sütun uzayına ve bu uzaya dik olan (ortogonal) alt uzaya izdüşürülmektedir. $Y = X\beta + u$ standart çoklu doğrusal regresyon modelinde (sabit terim dâhil $p$ parametre içermektedir), $P = X(X'X)^{-1}X'$ matrisi $Y$ 'nin sütun uzayına izdüşümünü, $M = I - P$ ise dik uzaya izdüşümünü veren simetrik ve idempotent matrislerdir.

EKK tahmin süreci sonunda elde edilen kestirim vektörü $\hat{Y}$ ve artık vektörü $e$ dikkate alındığında, bu modelin matris özellikleri ve varyans-kovaryans yapıları hakkında aşağıda verilen analitik sonuçlardan hangisi doğrudur?

Kestirim değerleri vektörünün varyans-kovaryans matrisi $Var(\hat{Y}) = \sigma^2 P$ yapısındadır ve bu izdüşüm matrisi $P$ 'nin izi (trace), modeldeki katsayı parametre sayısına ( $p$ ) eşittir.Answer
B
Artık vektörünün varyans-kovaryans matrisi $Var(e) = \sigma^2(X'X)^{-1}$ olarak tanımlanır ve bu kare matrisin boyutu gözlem sayısına ( $n \times n$ ) eşittir.
C
Kalan (Artık) matrisi $M$ 'nin izi (trace) $tr(M) = n-1$ olduğundan, modeldeki hata varyansının sapmasız tahmincisi her zaman $s^2 = \frac{e'e}{n-1}$ eşitliğiyle hesaplanır.
D
Parametre tahmin vektörü $\hat{\beta}$ , katsayılar matrisi formülüne göre $\hat{\beta} = (X'Y)^{-1}(X'X)$ matris işlemiyle elde edilir ve bu vektörün nihai boyutu $n \times 1$ 'dir.
E
Tasarım matrisi $X$ 'in sütunları arasında çoklu doğrusal bağlantı olduğunda $(X'X)$ matrisi singüler hale yaklaşır ve bu durum EKK tahmincisi $\hat{\beta}$ 'nın sapmalı (biased) sonuçlar üretmesine neden olur.

Answer

Kestirim değerlerinin varyans-kovaryans matrisinin

\sigma^2 P

olduğunu ve izdüşüm matrisinin izinin parametre sayısı

p

'ye eşit olduğunu belirten seçenek doğrudur.

Kestirim değerleri vektörünün (

\hat{Y}

) matrisel karşılığı

PY

'dir. Varyans operatörünün özelliklerinden

Var(PY) = P \cdot Var(Y) \cdot P'

elde edilir.

Var(Y) = \sigma^2 I_n

P

matrisi simetrik ile idempotent (

P=P'

P^2=P

) olduğundan bu işlem

\sigma^2 P

sonucunu verir. Ayrıca matris izi döngüsellik kuralına göre,

tr(X(X'X)^{-1}X') = tr((X'X)^{-1}X'X) = tr(I_p) = p

bulunur. İzdüşüm matrisinin izi modeldeki parametre sayısına eşittir.

Step-by-Step Solution

Kestirim değerleri vektörünün (

\hat{Y}

) varyans-kovaryans matrisinin türetilmesi.

\hat{Y} = PY

olduğundan,

Var(\hat{Y}) = Var(PY) = P \cdot Var(Y) \cdot P'

elde edilir.

Var(Y) = \sigma^2 I

P

idempotent (

P=P'

P^2=P

) olduğundan sonuç

\sigma^2 P

çıkar.

Kestirim değerlerinin varyans yapısını oluşturan matrisin izdüşüm matrisi

P

ile ilişkisini kanıtlamak.

İzdüşüm matrisi

P

'nin izinin (trace) matris cebiriyle hesaplanması.

tr(P) = tr(X(X'X)^{-1}X') = tr((X'X)^{-1}X'X) = tr(I_p) = p

bulunur.

İzdüşüm yapılan alt uzayın boyutunun modeldeki parametre sayısına (

p

) eşit olduğunu göstermek.

Artıkların varyans matrisi, boyutları ve hatalı seçeneklerin çürütülmesi.

Var(e) = \sigma^2 M

olup matris boyutu

n \times n

'dir. Buna karşın

(X'X)^{-1}

matrisi

p \times p

boyutludur. Artıkların serbestlik derecesi de matrisin izi olan

n-p

'ye eşittir.

Çeldiricilerde verilen hatalı matris boyutları, yanlış tahminci formülleri ve yanlış serbestlik derecelerini matematiksel olarak elemek.

Key Concept

İzdüşüm (Hat) ve Kalan Matrislerinin Özellikleri ile Boyutları

Estimated Time:2m 30s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic