Examkin

Question

Difficulty: Very hardSürekli Zamanlı Markov Süreçleri ve Doğum-Ölüm Süreçleri

Sürekli zamanlı bir Markov süreci (CTMC), S={0,1,2,3}S = \{0, 1, 2, 3\} durum uzayına sahiptir ve durumlar arasındaki geçiş hızlarını gösteren sonsuz küçük üreteç matrisi (Q\mathbf{Q} matrisi) aşağıda verilmiştir:

Q=(−41211−30220−200000) \mathbf{Q} = \begin{pmatrix} -4 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & -3 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Süreç t=0t=0 anında 00 numaralı durumdan başlamaktadır. 33 numaralı durum yutan (absorbing) durum olduğuna göre, sürecin 33 numaralı duruma ulaşana kadar geçen beklenen süresi kaçtır?

  1. A
    57\frac{5}{7}
  2. B
    1312\frac{13}{12}
  3. 75\frac{7}{5}Answer
  4. D
    165\frac{16}{5}
  5. E
    215\frac{21}{5}

Answer

Sürecin yutulma durumuna (3 numaralı durum) ulaşana kadar geçen beklenen süresi 75\frac{7}{5} birim zamandır.
Doğru çözüm, sürecin geçici durumlarında geçirdiği ortalama sürelerin birinci adım analizi (first-step analysis) ile denklem sistemine dökülmesine dayanır. Durum ii'den yutan duruma kadar geçen beklenen süre mim_i olmak üzere; m0=14+14m1+24m2m_0 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}m_1 + \frac{2}{4}m_2 ve diğer durumlara ait denklemler ortak çözüldüğünde sonuç m0=75m_0 = \frac{7}{5} bulunur.

Step-by-Step Solution

1
CTMC için yutulma zamanı beklentisi (mim_i) denklemlerinin genel yapısını belirleme
mi=1−qii+∑j≠iqij−qiimjm_i = \frac{1}{-q_{ii}} + \sum_{j \neq i} \frac{q_{ij}}{-q_{ii}} m_j
Herhangi bir durumdan yutulmaya kadar geçen süre, o durumdaki ortalama bekleme süresi ile gidilecek bir sonraki durumdan yutulmaya kadar geçecek sürelerin ağırlıklı ortalamasının toplamıdır.
2
Verilen Q matrisinden yararlanarak m0m_0, m1m_1 ve m2m_2 için eşitlikleri oluşturma
m0=14+14m1+24m2m_0 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}m_1 + \frac{2}{4}m_2
m1=13+13m0m_1 = \frac{1}{3} + \frac{1}{3}m_0
m2=12+m0m_2 = \frac{1}{2} + m_0
Matrisin köşegen elemanları (−qii-q_{ii}) ilgili durumlardan ayrılma hızlarını (bekleme süresi paydası), diğer elemanlar (qijq_{ij}) ise hedef durumlara geçiş hızlarını verir. Yutan durum olan 3 için m3=0m_3 = 0'dır.
3
Oluşturulan 3 bilinmeyenli denklem sistemini m0m_0'a bağlı olacak şekilde çözme
m1m_1 ve m2m_2 değerleri m0m_0 denkleminde yerine yazılır: m0=14+14(13+13m0)+12(12+m0)m_0 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}(\frac{1}{3} + \frac{1}{3}m_0) + \frac{1}{2}(\frac{1}{2} + m_0)
Süreç 00 durumundan başladığı için hesaplanması gereken ve sorulan asıl değer m0m_0'dır.
4
Elde edilen tek bilinmeyenli denklemi basitleştirerek nihai m0m_0 sonucunu bulma
m0=14+112+112m0+14+12m0  ⟹  m0=712+712m0  ⟹  512m0=712  ⟹  m0=75m_0 = \frac{1}{4} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12}m_0 + \frac{1}{4} + \frac{1}{2}m_0 \implies m_0 = \frac{7}{12} + \frac{7}{12}m_0 \implies \frac{5}{12}m_0 = \frac{7}{12} \implies m_0 = \frac{7}{5}
Matematiksel işlemler tamamlanarak başlangıç durumundan itibaren beklenen yutulma süresi elde edilir.

Key Concept

Sürekli Zamanlı Markov Süreçlerinde (CTMC) İlk Geçiş ve Yutulma Zamanları (Expected Time to Absorption)

Alternative Method

Matris yaklaşımı ile çözüm: Sistemin geçici durumlar matrisi QTT\mathbf{Q}_{TT} kullanılarak (−QTT)m=1(-\mathbf{Q}_{TT}) \mathbf{m} = \mathbf{1} denklemi kurulur. Buradan m=(−QTT)−11\mathbf{m} = (-\mathbf{Q}_{TT})^{-1} \mathbf{1} matris tersi işlemi yapılarak m0m_0 için aynı sonuca (75\frac{7}{5}) ulaşılabilir.
Estimated Time:4m 0s
Rate this question

Topics

Sürekli Zamanlı Markov Süreçleri ve Doğum-Ölüm Süreçleri

More questions from this topic