İstatistiksel hipotez testleri teorisinde, tek parametreli üstel aileye ait dağılımlardan … — KPSS İstatistik

İstatistiksel hipotez testleri teorisinde, tek parametreli üstel aileye ait dağılımlardan çekilen rastgele örneklemler için monoton olabilirlik oranı (MLR) özelliği ve Karlin-Rubin teoremi kullanılarak Düzgün En Güçlü (UMP) testler bulunabilmektedir.

Buna göre, $X_1, X_2, \dots, X_n$ bağımsız ve aynı dağılımlı rastgele değişkenler olmak üzere, aşağıdaki hipotez ve dağılım eşleştirmelerinden hangisinde bir Düzgün En Güçlü (UMP) test kesinlikle bulunamaz? (Tüm seçeneklerde $\theta_0$ bilinen bir sabittir.)

A
$X_i \sim \text{Poisson}(\theta)$ , $\quad H_0: \theta \leq \theta_0$ 'a karşı $H_1: \theta > \theta_0$
B
$X_i \sim \text{Üstel}(\theta)$ , $\quad H_0: \theta \geq \theta_0$ 'a karşı $H_1: \theta < \theta_0$
$X_i \sim N(\theta, \sigma^2)$ ( $\sigma^2$ biliniyor), $\quad H_0: \theta = \theta_0$ 'a karşı $H_1: \theta \neq \theta_0$ Answer
D
$X_i \sim \text{Gamma}(\alpha, \theta)$ ( $\alpha$ biliniyor), $\quad H_0: \theta = \theta_0$ 'a karşı $H_1: \theta > \theta_0$
E
$X_i \sim N(\mu, \theta)$ ( $\mu$ biliniyor), $\quad H_0: \theta \leq \theta_0$ 'a karşı $H_1: \theta > \theta_0$

Answer

Ortalaması bilinmeyen ancak varyansı bilinen Normal dağılımda, çift yönlü alternatif hipoteze (

H_1: \theta \neq \theta_0

) sahip olan durum.

Çift yönlü alternatif hipotezlerde (

H_1: \theta \neq \theta_0

), alternatif hipotezin kapsadığı uzay iki farklı yöne dağıldığı için her iki yönde de testin gücünü aynı anda maksimize edebilen tek bir kritik bölge (red bölgesi) bulunamaz. Bu nedenle, Normal dağılım gibi iyi özellikli tek parametreli üstel ailelerde dahi, çift yönlü alternatif hipotezlere karşı Düzgün En Güçlü (UMP) test teorik olarak yoktur. Bu tür durumlarda ancak Düzgün En Güçlü Yansız (UMPU) test bulunabilir.

Step-by-Step Solution

Seçeneklerdeki dağılımların yapılarını ve hipotezlerin yönlülüğünü (tek yönlü / çift yönlü) analiz et.

Tüm dağılımlar tek parametreli üstel aileye aittir. Yalnızca Normal dağılımlı ortalama testinde çift yönlü (

H_1: \theta \neq \theta_0

) alternatif hipotez verilmiş, diğer tüm seçeneklerde tek yönlü veya basit-bileşik alternatif hipotezler (

>, <

) verilmiştir.

UMP testin varlık koşullarını denetlemek için Karlin-Rubin teoreminin uygulanabilirlik sınırlarını (tek yönlü alternatif şartı) belirlemek.

Tek yönlü alternatif hipoteze sahip seçenekleri Karlin-Rubin teoremi ve Monoton Olabilirlik Oranı (MLR) açısından değerlendir.

Poisson, Üstel, Gamma ve Normal (varyans parametresi) dağılımlarında MLR özelliği sağlanır. Teorem gereği, bu dağılımlarda tek yönlü alternatif hipotezlere karşı UMP testin varlığı garanti edilir.

Teorik olarak tek parametreli üstel ailelerde tek yönlü testler için Düzgün En Güçlü testlerin daima var olduğunu doğrulamak.

Çift yönlü alternatif hipotez durumu için UMP testin varlığını teorik çerçevede incele.

Çift yönlü hipotezde (

H_1: \theta \neq \theta_0

\theta > \theta_0

durumu için red bölgesi sağ kuyrukta,

\theta < \theta_0

durumu için ise sol kuyrukta oluşur. Tüm

\theta \neq \theta_0

değerleri için gücü (power) aynı anda en çoklayan ortak (uniformly) bir red bölgesi matematiğin doğası gereği mümkün değildir.

Bir testin 'Düzgün En Güçlü' olabilmesi için alternatif uzayındaki istisnasız tüm noktalar için maksimum güce sahip olması gerekir. Bu şart, eğrileri kesişen çift yönlü güç fonksiyonlarında imkansızdır.

Key Concept

Çift Yönlü Alternatif Hipotezlerde UMP Testin Yokluğu

Estimated Time:1m 30s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic