Examkin

Question

Difficulty: HardSürekli Zamanlı Markov Süreçleri ve Doğum-Ölüm Süreçleri

Bir sunucu sistemi, 'Çalışır (0)', 'Kısmen Arızalı (1)' ve 'Tamamen Arızalı (2)' olmak üzere üç farklı durumda bulunabilen sürekli zamanlı bir Markov süreci (CTMC) ile modellenmektedir. Sistemin durumlar arası geçiş hızları (oranları) şu şekildedir:

- Çalışır durumdaki bir sunucunun kısmen arızalı duruma geçiş hızı saatte 3, tamamen arızalı duruma geçiş hızı ise saatte 2'dir.
- Kısmen arızalı durumdaki bir sunucu saatte 2 hızla onarılarak çalışır duruma dönerken, saatte 4 hızla tamamen arızalı duruma bozularak geçmektedir.
- Tamamen arızalı durumdaki bir sunucu, saatte 5 hızla doğrudan çalışır duruma onarılmaktadır. (Tamamen arızalı durumdan kısmen arızalı duruma geçiş yoktur).

Bu bilgilere göre, uzun dönemde (kararlı durumda) sunucunun 'Tamamen Arızalı' durumunda bulunma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    38\frac{3}{8}
  2. B
    25\frac{2}{5}
  3. C
    1023\frac{10}{23}
  4. D
    419\frac{4}{19}
  5. 823\frac{8}{23}Answer

Answer

Sunucunun tamamen arızalı durumunda bulunma olasılığı 823\frac{8}{23} olmalıdır.
Kararlı durumda sisteme giren ve çıkan akış oranları eşit olmalıdır (πQ=0\pi Q = 0). Elde edilen denge denklemleri çözülüp π0+π1+π2=1\pi_0 + \pi_1 + \pi_2 = 1 kuralı uygulandığında, Tamamen Arızalı durumun olasılığı 823\frac{8}{23} olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Sonsuz küçük üreteç (generator) matrisi QQ'yu oluşturun.
Q=[−5322−6450−5]Q = \begin{bmatrix} -5 & 3 & 2 \\ 2 & -6 & 4 \\ 5 & 0 & -5 \end{bmatrix}
Durumlar arası geçiş oranları matrisin köşegen dışı elemanlarını, satır toplamının sıfır olması kuralı ise köşegen elemanlarını (qii=−∑j≠iqijq_{ii} = -\sum_{j \neq i} q_{ij}) verir.
2
Kararlı durum olasılıkları için πQ=0\pi Q = 0 denge denklemlerini yazın.
1) −5π0+2π1+5π2=0-5\pi_0 + 2\pi_1 + 5\pi_2 = 0
2) 3π0−6π1=0⇒π1=0.5π03\pi_0 - 6\pi_1 = 0 \Rightarrow \pi_1 = 0.5\pi_0
3) 2π0+4π1−5π2=02\pi_0 + 4\pi_1 - 5\pi_2 = 0
Sürekli zamanlı Markov zincirlerinde uzun dönem olasılıkları sisteme giriş ve çıkış oranlarının dengelenmesiyle bulunur.
3
Denklemleri çözerek π2\pi_2'yi π0\pi_0 cinsinden ifade edin.
3. denkleme π1=0.5π0\pi_1 = 0.5\pi_0 yazılırsa: 2π0+4(0.5π0)−5π2=0⇒4π0=5π2⇒π2=0.8π02\pi_0 + 4(0.5\pi_0) - 5\pi_2 = 0 \Rightarrow 4\pi_0 = 5\pi_2 \Rightarrow \pi_2 = 0.8\pi_0
Bütün değişkenleri tek bir bilinmeyen (π0\pi_0) cinsinden yazmak normalizasyon adımına hazırlıktır.
4
Normalizasyon kuralı ∑πi=1\sum \pi_i = 1 eşitliğini uygulayarak π0\pi_0'ı bulun ve sorulan π2\pi_2'yi hesaplayın.
π0+0.5π0+0.8π0=1⇒2.3π0=1⇒π0=1023\pi_0 + 0.5\pi_0 + 0.8\pi_0 = 1 \Rightarrow 2.3\pi_0 = 1 \Rightarrow \pi_0 = \frac{10}{23}. Buradan π2=0.8×1023=823\pi_2 = 0.8 \times \frac{10}{23} = \frac{8}{23}.
Tüm durumların olasılıklarının toplamı daima 1'e eşit olmak zorundadır.

Key Concept

Sürekli Zamanlı Markov Zincirlerinde Kararlı Durum Olasılıkları
Rate this question

Topics

Sürekli Zamanlı Markov Süreçleri ve Doğum-Ölüm Süreçleri

More questions from this topic