Examkin

Question

Difficulty: EasyOlasılık İntegral Dönüşümü

Akademik bir çalışmada, gözlemlenen sürekli bir XX rastgele değişkeninin tüm değerleri, değişkenin kendi birikimli dağılım fonksiyonu (FF) kullanılarak yeni bir Y=F(X)Y = F(X) değişkenine dönüştürülmektedir. Olasılık integral dönüşümü (probability integral transform) prensibine göre, elde edilen bu YY değişkeninin dağılımı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 00 ile 11 arasında tanımlı sürekli düzgün dağılımAnswer
  2. B
    Ortalaması 00 ve varyansı 11 olan normal dağılım
  3. C
    Parametresi 11 olan üstel dağılım
  4. D
    −1-1 ile 11 aralığında tanımlı sürekli düzgün dağılım
  5. E
    Parametresi p=0,5p=0,5 olan binom dağılımı

Answer

00 ile 11 arasında tanımlı sürekli düzgün dağılım
Olasılık integral dönüşümü teoremine göre, XX rastgele değişkeni sürekli ise, Y=F(X)Y=F(X) dönüşümü sonucunda elde edilen rastgele değişken her zaman (0,1)(0, 1) aralığında sürekli düzgün dağılıma sahiptir. Bu özellik, istatistiksel simülasyonlarda rastgele sayı üretimi için temel teşkil eder.

Step-by-Step Solution

1
Dönüşüm değişkenini tanımla
Y=F(X)Y = F(X)
Soruda verilen olasılık integral dönüşümünün temel formülüdür.
2
Y'nin birikimli dağılım fonksiyonunu (FY(y)F_Y(y)) hesapla
FY(y)=P(Y≤y)=P(F(X)≤y)F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(F(X) \leq y)
Dağılımı belirlemek için CDF tanımından başlanır.
3
X üzerinden ifadeyi çöz
P(X≤F−1(y))=F(F−1(y))=yP(X \leq F^{-1}(y)) = F(F^{-1}(y)) = y
FF fonksiyonu sürekli ve artan olduğu için tersi alınabilir.
4
Sonucu yorumla
FY(y)=yF_Y(y) = y (burada 0≤y≤10 \leq y \leq 1)
Birikimli dağılım fonksiyonu F(y)=yF(y)=y olan dağılım, U(0,1)U(0,1) düzgün dağılımıdır.

Key Concept

Olasılık integral dönüşümü teoremi, herhangi bir sürekli rastgele değişkenin kendi CDF'si kullanılarak Standart Düzgün Dağılıma (U(0,1)U(0,1)) dönüştürülebileceğini ifade eder.

Alternative Method

Teoremin tersini düşünerek; eğer U∼U(0,1)U \sim U(0,1) ise X=F−1(U)X = F^{-1}(U) dönüşümünün XX dağılımını verdiğini hatırlamak, F(X)=UF(X)=U ilişkisini kurmayı kolaylaştırabilir.
Estimated Time:45s
Rate this question

Topics

Olasılık İntegral Dönüşümü

More questions from this topic