Examkin

Question

Difficulty: MediumNeyman-Pearson Lemması

Bir kalite kontrol sürecinde, bir makinenin ürettiği parçaların kusurlu olma olasılığı pp parametresi ile modellenmektedir. Rastgele seçilen nn adet parça incelenmiş ve X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n gözlemleri elde edilmiştir (Xi∈{0,1}X_i \in \{0, 1\}).

p1>p0p_1 > p_0 olduğu bilindiğine göre;
H0:p=p0H_0: p = p_0
H1:p=p1H_1: p = p_1

hipotezlerini test etmek için Neyman-Pearson Lemması kullanılarak oluşturulan en güçlü (most powerful) testin red bölgesi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. ∑i=1nXi≥c\sum_{i=1}^n X_i \geq cAnswer
  2. B
    ∑i=1nXi≤c\sum_{i=1}^n X_i \leq c
  3. C
    ∑i=1nXi2≥c\sum_{i=1}^n X_i^2 \geq c
  4. D
    ∏i=1nXi≥c\prod_{i=1}^n X_i \geq c
  5. E
    Xˉ≤c\bar{X} \leq c

Answer

En güçlü red bölgesi, gözlemlerin toplamının belirli bir kritik değerden büyük veya eşit olduğu durum olan ∑Xi≥c\sum X_i \geq c şeklindedir.
Neyman-Pearson Lemması'na göre en güçlü test bölgesi L(H0)/L(H1)≤kL(H_0)/L(H_1) \leq k eşitsizliği ile bulunur. Bernoulli dağılımında p1>p0p_1 > p_0 olduğunda bu oran ∑Xi\sum X_i değerine bağlı olarak azalan bir yapı sergiler. Dolayısıyla oranın küçük bir değerden az olması, ∑Xi\sum X_i toplamının kritik bir değerden büyük olmasını gerektirir.

Step-by-Step Solution

1
Olabilirlik fonksiyonunu (Likelihood) tanımlayın.
L(p)=p∑xi(1−p)n−∑xiL(p) = p^{\sum x_i} (1-p)^{n-\sum x_i}
Bernoulli dağılımına sahip nn adet bağımsız gözlemin ortak olasılık fonksiyonu budur.
2
Neyman-Pearson oranını (L(p0)/L(p1)L(p_0)/L(p_1)) kurun.
Λ=p0∑xi(1−p0)n−∑xip1∑xi(1−p1)n−∑xi=[p0(1−p1)p1(1−p0)]∑xi(1−p01−p1)n\Lambda = \frac{p_0^{\sum x_i} (1-p_0)^{n-\sum x_i}}{p_1^{\sum x_i} (1-p_1)^{n-\sum x_i}} = \left[ \frac{p_0(1-p_1)}{p_1(1-p_0)} \right]^{\sum x_i} \left( \frac{1-p_0}{1-p_1} \right)^n
En güçlü testi bulmak için iki olabilirlik fonksiyonunun birbirine oranı incelenir.
3
Oranın monotonluğunu parametre değerlerine göre analiz edin.
p1>p0⇒p0(1−p1)p1(1−p0)<1p_1 > p_0 \Rightarrow \frac{p_0(1-p_1)}{p_1(1-p_0)} < 1
p1>p0p_1 > p_0 olduğu için tabandaki değer 1'den küçüktür, bu da fonksiyonun ∑xi\sum x_i değişkenine göre azalan olduğunu gösterir.
4
Red bölgesini Λ≤k\Lambda \leq k şartına göre belirleyin.
Λ≤k⇒∑Xi≥c\Lambda \leq k \Rightarrow \sum X_i \geq c
Azalan bir fonksiyonun belirli bir eşik değerinden küçük olması, bağımsız değişkenin (toplamın) büyük değerler almasıyla mümkündür.

Key Concept

Neyman-Pearson Lemması uyarınca basit hipotezler için en güçlü test, olabilirlik oranının sabit bir değerden küçük olduğu bölgedir.

Alternative Method

Bernoulli dağılımı pp parametresine göre Monoton Olabilirlik Oranı (MLR) özelliğine sahip bir Üstel Aile üyesidir. pp arttıkça olabilirlik oranı ∑Xi\sum X_i istatistiğine göre monoton olarak arttığından (veya L(H0)/L(H1)L(H_0)/L(H_1) azaldığından), en güçlü testin red bölgesi doğrudan ∑Xi≥c\sum X_i \geq c olarak söylenebilir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Neyman-Pearson Lemması

More questions from this topic