Examkin

Question

Difficulty: HardOlasılık İntegral Dönüşümü

Bir finansal risk analisti, belirli bir türev ürünün getirisini modellemek için 0<x<20 < x < 2 aralığında tanımlı ve olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x)=38x2f(x) = \frac{3}{8}x^2 olan sürekli bir XX rastgele değişkenini incelemektedir.

Analist, olasılık integral dönüşümünü (probability integral transform) uygulayarak Y=F(X)Y = F(X) rastgele değişkenini elde etmiş ve daha sonra simülasyon çalışmalarında kullanmak üzere W=−2ln⁡(Y)W = -2 \ln(Y) şeklinde yeni bir rastgele değişken tanımlamıştır. (F(x)F(x), XX'in birikimli dağılım fonksiyonudur.)

Buna göre, WW rastgele değişkeninin beklenen değeri (E[W]E[W]) ve varyansı (Var(W)Var(W)) sırasıyla aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

  1. E[W]=2,Var(W)=4E[W] = 2, \quad Var(W) = 4Answer
  2. B
    E[W]=2,Var(W)=2E[W] = 2, \quad Var(W) = 2
  3. C
    E[W]=12,Var(W)=14E[W] = \frac{1}{2}, \quad Var(W) = \frac{1}{4}
  4. D
    E[W]=−2,Var(W)=4E[W] = -2, \quad Var(W) = 4
  5. E
    E[W]=4,Var(W)=16E[W] = 4, \quad Var(W) = 16

Answer

E[W]=2,Var(W)=4E[W] = 2, \quad Var(W) = 4 değerlerini içeren seçenektir.
Soru, Olasılık İntegral Dönüşümünün temel bir sonucuna dayanır. XX'in dağılımı ne olursa olsun (sürekli olmak şartıyla), Y=F(X)Y = F(X) değişkeni (0,1) aralığında Düzgün (Uniform) dağılıma sahiptir. Soruda verilen f(x)f(x) fonksiyonu kullanılarak F(X)F(X)'in bulunup uzun uzun integral alınmasına gerek yoktur, bu zaman kaybettirici bir çeldiricidir. Y∼Uniform(0,1)Y \sim Uniform(0,1) olduğu bilindiğinde, W=−2ln⁡(Y)W = -2 \ln(Y) değişkeni Üstel dağılım özellikleri kullanılarak çözülür. −ln⁡(Y)∼Exp(λ=1)-\ln(Y) \sim Exp(\lambda=1) olduğundan, E[−ln⁡Y]=1E[-\ln Y] = 1 ve Var(−ln⁡Y)=1Var(-\ln Y) = 1 olur. W=2(−ln⁡Y)W = 2(-\ln Y) olduğu için E[W]=2×1=2E[W] = 2 \times 1 = 2 ve Var(W)=22×1=4Var(W) = 2^2 \times 1 = 4 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Y=F(X)Y = F(X) dönüşümünün olasılık dağılımını belirlemek.
XX sürekli bir rastgele değişken olduğundan, Olasılık İntegral Dönüşümü (Probability Integral Transform) teoremine göre Y∼Uniform(0,1)Y \sim Uniform(0,1) dağılımına sahip olur.
Sürekli bir değişkenin birikimli dağılım fonksiyonu (CDF) ile dönüştürülmesi her zaman (0,1) aralığında düzgün (uniform) dağılım üretir. Soruda verilen f(x)f(x) fonksiyonu doğrudan integrasyona girilmeden bu kural kullanılarak çözüme kısayoldan ulaşılmasını hedefler.
2
−ln⁡(Y)-\ln(Y) ifadesinin dağılımını ve momentlerini bulmak.
Y∼Uniform(0,1)Y \sim Uniform(0,1) ise, U=−ln⁡(Y)U = -\ln(Y) değişkeni λ=1\lambda = 1 parametreli Üstel (Exponential) dağılıma uyar. Bu nedenle E[U]=1E[U] = 1 ve Var(U)=1Var(U) = 1 olur.
Y=e−UY = e^{-U} dönüşümü uygulandığında Üstel dağılımın temel özellikleri ortaya çıkar.
3
W=−2ln⁡(Y)W = -2\ln(Y) değişkeninin beklenen değerini ve varyansını hesaplamak.
W=2UW = 2U olarak yazılabilir. Beklenen değerin doğrusallığı gereği E[W]=2E[U]=2(1)=2E[W] = 2E[U] = 2(1) = 2 bulunur. Varyansın özelliği gereği ise Var(W)=22Var(U)=4(1)=4Var(W) = 2^2 Var(U) = 4(1) = 4 bulunur.
Beklenen değer doğrusal bir operatördür (E[aX]=aE[X]E[aX] = aE[X]). Varyans operatöründe ise katsayı dışarı karesi alınarak çıkar (Var(aX)=a2Var(X)Var(aX) = a^2 Var(X)).

Key Concept

Olasılık İntegral Dönüşümü teoremine göre sürekli bir X için Y=F(X) ~ Uniform(0,1) olması ve doğrusal dönüşümlerde varyans özellikleri
Rate this question

Topics

Olasılık İntegral Dönüşümü

More questions from this topic