Examkin

Question

Difficulty: MediumSürekli Zamanlı Markov Süreçleri ve Doğum-Ölüm Süreçleri

Bir Orman Genel Müdürlüğü erken uyarı merkezinde, orman yangını risk seviyesi sürekli zamanlı bir doğum-ölüm (birth-death) süreci olarak modellenmektedir. Sistem üç farklı risk durumunda bulunabilmektedir: S={0,1,2}S = \{0, 1, 2\}.

- 00: Düşük Risk
- 11: Orta Risk
- 22: Yüksek Risk

Risk seviyesindeki değişimler sadece ardışık durumlar arasında gerçekleşmektedir. Sistemin durumları arasındaki günlük geçiş oranları şu şekildedir:
- Düşük riskten orta riske geçiş oranı: λ0=2\lambda_0 = 2
- Orta riskten yüksek riske geçiş oranı: λ1=1\lambda_1 = 1
- Orta riskten düşük riske dönme oranı: μ1=3\mu_1 = 3
- Yüksek riskten orta riske dönme oranı: μ2=4\mu_2 = 4

Buna göre, sistemin uzun dönemde (kararlı durumda) "Düşük Risk" (00) durumunda bulunma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    111\frac{1}{11}
  2. B
    217\frac{2}{17}
  3. C
    411\frac{4}{11}
  4. 611\frac{6}{11}Answer
  5. E
    35\frac{3}{5}

Answer

Sistemin Düşük Risk (0) durumunda bulunma olasılığı 611\frac{6}{11}'dir.
Sürekli zamanlı bir doğum-ölüm sürecinde yerel denge denklemleri λn−1Pn−1=μnPn\lambda_{n-1} P_{n-1} = \mu_n P_n şeklinde kurulur. 0 ve 1 durumları için 2P0=3P12P_0 = 3P_1, 1 ve 2 durumları için 1P1=4P21P_1 = 4P_2 eşitlikleri geçerlidir. Buradan P1=23P0P_1 = \frac{2}{3}P_0 ve P2=14P1=16P0P_2 = \frac{1}{4}P_1 = \frac{1}{6}P_0 elde edilir. Tüm olasılıkların toplamı 1 olacağından; P0(1+23+16)=1  ⟹  P0(116)=1P_0(1 + \frac{2}{3} + \frac{1}{6}) = 1 \implies P_0(\frac{11}{6}) = 1 denklemi çözülerek Düşük Risk durumu olasılığı 611\frac{6}{11} olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Doğum-ölüm süreci için her bir ardışık durum arasındaki yerel denge (balance) denklemlerini kurunuz.
Düğüm 0 ile 1 arası: λ0P0=μ1P1  ⟹  2P0=3P1\lambda_0 P_0 = \mu_1 P_1 \implies 2P_0 = 3P_1
Düğüm 1 ile 2 arası: λ1P1=μ2P2  ⟹  1P1=4P2\lambda_1 P_1 = \mu_2 P_2 \implies 1P_1 = 4P_2
Kararlı durumda (steady-state), bir durumdan diğerine geçiş hızı, o durumdan geriye dönüş hızına eşit olmalıdır.
2
Tüm kararlı durum olasılıklarını (P1P_1 ve P2P_2) P0P_0 cinsinden ifade ediniz.
P1=23P0P_1 = \frac{2}{3}P_0
P2=14P1=14(23P0)=16P0P_2 = \frac{1}{4}P_1 = \frac{1}{4}(\frac{2}{3}P_0) = \frac{1}{6}P_0
Olasılıkların toplamını 1'e eşitleyerek tek bilinmeyenli bir denklem elde edebilmek için tüm terimlerin aynı değişken cinsinden yazılması gerekir.
3
Normalizasyon şartını (P0+P1+P2=1P_0 + P_1 + P_2 = 1) kullanarak P0P_0 değerini hesaplayınız.
P0+23P0+16P0=1  ⟹  P0(1+46+16)=1  ⟹  P0(116)=1  ⟹  P0=611P_0 + \frac{2}{3}P_0 + \frac{1}{6}P_0 = 1 \implies P_0(1 + \frac{4}{6} + \frac{1}{6}) = 1 \implies P_0(\frac{11}{6}) = 1 \implies P_0 = \frac{6}{11}
Bir Markov sürecinde sistemin alabileceği tüm durumların olasılıklarının toplamı her zaman 1 olmalıdır.

Key Concept

Sürekli Zamanlı Markov Süreçlerinde Kararlı Durum (Steady-State) Olasılıkları ve Yerel Denge Denklemleri

Alternative Method

Sürecin geçiş oranları matrisi (Infinitesimal Generator Matrix - Q matrisi) kullanılarak genel çözüm yapılabilir. Matris: Q=[−2203−4104−4]Q = \begin{bmatrix} -2 & 2 & 0 \\ 3 & -4 & 1 \\ 0 & 4 & -4 \end{bmatrix} şeklindedir. πQ=0\pi Q = 0 ve π0+π1+π2=1\pi_0 + \pi_1 + \pi_2 = 1 denklem sistemi çözüldüğünde π0\pi_0 değeri doğrudan elde edilir.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Sürekli Zamanlı Markov Süreçleri ve Doğum-Ölüm Süreçleri

More questions from this topic