Examkin

Question

Difficulty: HardRassal Yürüyüş (Random Walk)

Bir yapay zeka uygulamasındaki genetik algoritma optimizasyon sürecinde, bir modelin uygunluk (fitness) skoru başlangıçta 22 birim olarak belirlenmiştir. Her bir jenerasyon (adım) sonucunda bu skor, birbirinden bağımsız olarak p=13p = \frac{1}{3} olasılıkla 11 birim artmakta, q=23q = \frac{2}{3} olasılıkla ise 11 birim azalmaktadır.

Algoritmanın kurallarına göre; modelin uygunluk skoru 00'a düştüğünde süreç 'başarısız' kabul edilerek iptal edilmekte, skor 55'e ulaştığında ise 'başarılı' kabul edilerek optimizasyon sonlandırılmaktadır.

Buna göre, bu optimizasyon sürecinin başarılı bir şekilde sonlanma olasılığı kaçtır?

  1. A
    127\frac{1}{27}
  2. 331\frac{3}{31}Answer
  3. C
    25\frac{2}{5}
  4. D
    2431\frac{24}{31}
  5. E
    2831\frac{28}{31}

Answer

Optimizasyon sürecinin başarılı sonlanma olasılığı 331\frac{3}{31}'dir.
Bu problem, klasik bir 'Kumarbazın İflası' (Gambler's Ruin) problemidir. İstenen durum, asimetrik bir rassal yürüyüşte sürecin alt yutucu sınır olan 0'a ulaşmadan önce üst sınır olan 5'e ulaşma olasılığıdır. İleri gitme olasılığı p≠qp \neq q olduğunda hedef NN noktasına ulaşma olasılığı P=1−(q/p)i1−(q/p)NP = \frac{1 - (q/p)^i}{1 - (q/p)^N} formülüyle bulunur. Soru verilerinde başlangıç noktası i=2i=2, hedef N=5N=5, yukarı adım p=1/3p=1/3 ve aşağı adım q=2/3q=2/3'tür. Değerler yerine konulduğunda 1−221−25=−3−31=331\frac{1 - 2^2}{1 - 2^5} = \frac{-3}{-31} = \frac{3}{31} sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Problemin tipini ve parametrelerini belirle.
Problem asimetrik bir 'Kumarbazın İflası' (Gambler's Ruin) problemidir. Başlangıç durumu i=2i=2, üst sınır (başarı) N=5N=5, alt sınır (başarısızlık) 00'dır. Olasılıklar p=1/3p=1/3 ve q=2/3q=2/3'tür.
Rassal yürüyüşte sınır olasılıklarını hesaplamak için doğru formülü seçmek gerekir.
2
Artma ve azalma olasılıklarının oranını (q/pq/p) hesapla.
qp=2/31/3=2\frac{q}{p} = \frac{2/3}{1/3} = 2 bulunur.
Asimetrik rassal yürüyüş absorpsiyon formülü bu oran üzerine kuruludur.
3
Asimetrik rassal yürüyüş formülünü uygula.
Üst sınıra ulaşma olasılığı formülü: Pi=1−(q/p)i1−(q/p)NP_i = \frac{1 - (q/p)^i}{1 - (q/p)^N}
p≠qp \neq q olduğundan dolayı yutucu sınırlara ulaşma olasılığı bu karakteristik denklem çözümüyle bulunur.
4
Değerleri formülde yerine koyarak sonucu hesapla.
P2=1−221−25=1−41−32=−3−31=331P_2 = \frac{1 - 2^2}{1 - 2^5} = \frac{1 - 4}{1 - 32} = \frac{-3}{-31} = \frac{3}{31}
Başlangıç durumundan hedefe ulaşma olasılığının matematiksel olarak elde edilmesidir.

Key Concept

Asimetrik Rassal Yürüyüşte Absorpsiyon (Yutulma) Olasılıkları
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Rassal Yürüyüş (Random Walk)

More questions from this topic