Bir araştırmacı, incelediği zaman serisini gecikme operatörü (B) yardımıyla Y_t = (1 + 0.5… — KPSS İstatistik

Bir araştırmacı, incelediği zaman serisini gecikme operatörü ( $B$ ) yardımıyla $Y_t = (1 + 0.5B + kB^2)\varepsilon_t$ şeklinde yapılandırmış ve analizlerinde kullanmıştır. (Burada $\varepsilon_t$ , $E(\varepsilon_t)=0$ ve $Var(\varepsilon_t)=\sigma^2$ özelliklerine sahip standart bir beyaz gürültü sürecini ifade etmektedir). Buna göre, modellenen bu sürecin analitik özellikleri dikkate alındığında aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

A
Sürecin kovaryans durağan (zayıf durağan) olabilmesi için, $1 + 0.5B + kB^2 = 0$ karakteristik denkleminin köklerinin mutlak değerce 1'den büyük olması zorunludur.
Tersinirlik (invertibility) koşulunun sağlanabilmesi için $k$ katsayısının $-0.5 < k < 1$ sınırları içerisinde yer alması gerekir.Answer
C
Serinin kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) ikinci gecikmeden sonra sıfıra düşerken, otokorelasyon fonksiyonu (ACF) asimptotik olarak sönümlenir.
D
Zaman ilerledikçe serinin varyansı zamana bağlı olarak $\sigma^2(1 + 0.25 + k^2) \times t$ şeklinde artacağından, seriyi durağanlaştırmak için birinci dereceden fark alınmalıdır.
E
Modelin otokorelasyon (ACF) grafiği incelendiğinde, güven sınırları içerisinde kalan (istatistiksel olarak sıfırdan farksız) gecikmeler serinin anlamlı yapılarını oluşturduğu için $k$ parametresi bu gecikmeler üzerinden tahmin edilir.

Answer

Sürecin tersinir (invertible) olabilmesi için k katsayısının -0.5 ile 1 arasında olması gerektiği ifadesi doğrudur.

Verilen süreç bir MA(2) modelidir. İkinci dereceden hareketli ortalama modellerinin tersinir (invertible) olabilmesi için karakteristik denklemden türetilen üç temel koşul vardır:

1+\theta_1+\theta_2>0

1-\theta_1+\theta_2>0

-1<\theta_2<1

. Bu denklemdeki katsayılar

\theta_1 = 0.5

\theta_2 = k

olduğundan, eşitsizlikler çözüldüğünde en dar aralık olan

-0.5 < k < 1

koşulu elde edilir. Diğer yandan MA modelleri yapısal olarak her zaman durağan olduklarından durağanlık kısıtı aramak anlamsızdır.

Step-by-Step Solution

Model denklemini standart MA formu ile eşleştirerek parametreleri belirleyin.

Y_t = \varepsilon_t + 0.5\varepsilon_{t-1} + k\varepsilon_{t-2}

denklemi bir MA(2) sürecidir. Standart formda parametreler

\theta_1 = 0.5

\theta_2 = k

'dır.

Tersinirlik ve durağanlık koşullarını test edebilmek için modelin derecesini ve katsayılarını doğru tanımlamak gerekir.

MA modelleri için durağanlık özelliğini hatırlayın.

MA süreçleri sonlu sayıda beyaz gürültü teriminin doğrusal birleşimi olduğundan her zaman durağandır. Karakteristik denklem kökleri durağanlığı değil, tersinirliği etkiler.

Durağanlık ile tersinirlik kavramlarının karışmasını önlemek için bu ayrımın net yapılması şarttır.

MA(2) modeli için tersinirlik (invertibility) koşullarını uygulayın.

Koşul 1:

1 + \theta_1 + \theta_2 > 0 \implies 1 + 0.5 + k > 0 \implies k > -1.5

. Koşul 2:

1 - \theta_1 + \theta_2 > 0 \implies 1 - 0.5 + k > 0 \implies k > -0.5

. Koşul 3:

-1 < \theta_2 < 1 \implies -1 < k < 1

Geçmiş gözlemlerin ağırlıklarının azalarak gitmesi ve sürecin AR(

\infty

) olarak yazılabilmesi için bu üç parametrik eşitsizliğin aynı anda sağlanması gereklidir.

Elde edilen eşitsizliklerin kesişim kümesini bulun.

k > -1.5

k > -0.5

-1 < k < 1

eşitsizliklerinin üçünü birden sağlayan aralık

-0.5 < k < 1

'dir.

Tüm tersinirlik kısıtlarının ortak çözüm alanını matematiksel olarak ifade etmek için.

Key Concept

Hareketli Ortalama Modellerinde Durağanlık ve Tersinirlik

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic