Durağan Zaman Serisi Modelleri Practice Questions — KPSS İstatistik

Question 1Question →

Bir araştırmacı, incelediği zaman serisini gecikme operatörü ( $B$ ) yardımıyla $Y_t = (1 + 0.5B + kB^2)\varepsilon_t$ şeklinde yapılandırmış ve analizlerinde kullanmıştır. (Burada $\varepsilon_t$ , $E(\varepsilon_t)=0$ ve $Var(\varepsilon_t)=\sigma^2$ özelliklerine sahip standart bir beyaz gürültü sürecini ifade etmektedir). Buna göre, modellenen bu sürecin analitik özellikleri dikkate alındığında aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Sürecin kovaryans durağan (zayıf durağan) olabilmesi için,

1 + 0.5B + kB^2 = 0

karakteristik denkleminin köklerinin mutlak değerce 1'den büyük olması zorunludur.

Tersinirlik (invertibility) koşulunun sağlanabilmesi için

k

katsayısının

-0.5 < k < 1

sınırları içerisinde yer alması gerekir.

Serinin kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) ikinci gecikmeden sonra sıfıra düşerken, otokorelasyon fonksiyonu (ACF) asimptotik olarak sönümlenir.

Zaman ilerledikçe serinin varyansı zamana bağlı olarak

\sigma^2(1 + 0.25 + k^2) \times t

şeklinde artacağından, seriyi durağanlaştırmak için birinci dereceden fark alınmalıdır.

Modelin otokorelasyon (ACF) grafiği incelendiğinde, güven sınırları içerisinde kalan (istatistiksel olarak sıfırdan farksız) gecikmeler serinin anlamlı yapılarını oluşturduğu için

k

parametresi bu gecikmeler üzerinden tahmin edilir.

Show answer & explanation

Answer: Tersinirlik (invertibility) koşulunun sağlanabilmesi için $k$ katsayısının $-0.5 < k < 1$ sınırları içerisinde yer alması gerekir.

Answer

Sürecin tersinir (invertible) olabilmesi için k katsayısının -0.5 ile 1 arasında olması gerektiği ifadesi doğrudur.

Verilen süreç bir MA(2) modelidir. İkinci dereceden hareketli ortalama modellerinin tersinir (invertible) olabilmesi için karakteristik denklemden türetilen üç temel koşul vardır:

1+\theta_1+\theta_2>0

,

1-\theta_1+\theta_2>0

ve

-1<\theta_2<1

. Bu denklemdeki katsayılar

\theta_1 = 0.5

ve

\theta_2 = k

olduğundan, eşitsizlikler çözüldüğünde en dar aralık olan

-0.5 < k < 1

koşulu elde edilir. Diğer yandan MA modelleri yapısal olarak her zaman durağan olduklarından durağanlık kısıtı aramak anlamsızdır.

Step-by-Step Solution

1

Model denklemini standart MA formu ile eşleştirerek parametreleri belirleyin.

Y_t = \varepsilon_t + 0.5\varepsilon_{t-1} + k\varepsilon_{t-2}

denklemi bir MA(2) sürecidir. Standart formda parametreler

\theta_1 = 0.5

ve

\theta_2 = k

'dır.

Tersinirlik ve durağanlık koşullarını test edebilmek için modelin derecesini ve katsayılarını doğru tanımlamak gerekir.

2

MA modelleri için durağanlık özelliğini hatırlayın.

MA süreçleri sonlu sayıda beyaz gürültü teriminin doğrusal birleşimi olduğundan her zaman durağandır. Karakteristik denklem kökleri durağanlığı değil, tersinirliği etkiler.

Durağanlık ile tersinirlik kavramlarının karışmasını önlemek için bu ayrımın net yapılması şarttır.

3

MA(2) modeli için tersinirlik (invertibility) koşullarını uygulayın.

Koşul 1:

1 + \theta_1 + \theta_2 > 0 \implies 1 + 0.5 + k > 0 \implies k > -1.5

. Koşul 2:

1 - \theta_1 + \theta_2 > 0 \implies 1 - 0.5 + k > 0 \implies k > -0.5

. Koşul 3:

-1 < \theta_2 < 1 \implies -1 < k < 1

.

Geçmiş gözlemlerin ağırlıklarının azalarak gitmesi ve sürecin AR(

\infty

) olarak yazılabilmesi için bu üç parametrik eşitsizliğin aynı anda sağlanması gereklidir.

4

Elde edilen eşitsizliklerin kesişim kümesini bulun.

k > -1.5

,

k > -0.5

ve

-1 < k < 1

eşitsizliklerinin üçünü birden sağlayan aralık

-0.5 < k < 1

'dir.

Tüm tersinirlik kısıtlarının ortak çözüm alanını matematiksel olarak ifade etmek için.

Key Concept

Hareketli Ortalama Modellerinde Durağanlık ve Tersinirlik

Question 2Question →

Durağan bir zaman serisine ait otokorelasyon fonksiyonu ( $\rho_k$ ) değerleri $k=1$ için $\rho_1 = 0,642$ ve $k > 1$ için $\rho_k = 0$ olarak hesaplanmıştır. Kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) ise gecikme sayısı arttıkça azalarak sönümlenen bir yapı sergilemektedir. Bu bilgilere göre, söz konusu zaman serisi için önerilecek en uygun model aşağıdakilerden hangisidir?

MA(1)

AR(1)

ARMA(1,1)

MA(2)

Beyaz Gürültü (White Noise)

Show answer & explanation

Answer: $MA(1)$

Answer

Verilen özellikler

MA(1)

modelini tanımlamaktadır.

Doğru model olan

MA(1)

modelinde, otokorelasyon fonksiyonu (

\rho_k

) birinci gecikmeden sonra (

k=1

) sıfıra eşit olur ve kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) geometrik veya sinüzoidal bir şekilde sönümlenerek devam eder. Soruda verilen veriler bu karakteristik yapıya tam olarak uymaktadır.

Step-by-Step Solution

1

Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) analizi

\rho_1 \neq 0

ve

k > 1

için

\rho_k = 0

olması, ACF'nin 1. gecikmede kesildiğini (cut-off) gösterir.

ACF'nin ani kesilmesi, sürecin bir Hareketli Ortalama (MA) süreci olduğuna dair en güçlü kanıttır.

2

Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) analizi

PACF'nin sönümlenerek (tail-off) azalması gözlenmiştir.

MA modellerinde PACF sönümlenirken, AR modellerinde ACF sönümlenir.

3

Model derecesinin belirlenmesi

ACF 1. gecikmeden sonra kesildiği için derecesi

q=1

olan bir MA modeli seçilir.

MA(q)

modellerinde ACF tam olarak

q

gecikme sonrası sıfıra düşer.

Key Concept

Zaman serisi modellerinin kimliklendirilmesinde ACF'nin ani kesilmesi MA derecesini, PACF'nin ani kesilmesi ise AR derecesini belirler.

Practice More

ACF ve PACF'nin her ikisinin de sönümlendiği ARMA modellerinin özelliklerini inceleyiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 3Question →

$L$ gecikme operatörünü ve $\epsilon_t$ beyaz gürültü sürecini temsil etmek üzere, $(1 - 0.65L)Y_t = \epsilon_t$ şeklinde tanımlanan birinci dereceden otoregresif AR(1) süreci için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF), birinci gecikmeden sonra kesilerek sıfır değerini alır.

Otokorelasyon fonksiyonu (ACF), birinci gecikmeden sonra kesilerek sıfır değerini alır.

Sürecin zayıf durağan olabilmesi için gecikme operatörü katsayısının mutlak değerce 1'den büyük olması gerekir.

Bu modelde verilen

0.65

katsayısı üzerindeki kısıt, modelin durağanlığını değil tersinirlik (invertibility) özelliğini belirler.

Gecikme operatörü açıldığında model

Y_t = -0.65Y_{t-1} + \epsilon_t

formunda yazılır.

Show answer & explanation

Answer: Kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF), birinci gecikmeden sonra kesilerek sıfır değerini alır.

Answer

Kısmi otokorelasyon fonksiyonunun (PACF) birinci gecikmeden sonra kesilmesi

Otoregresif süreçlerin (AR) en temel ayırt edici özelliği, kısmi otokorelasyon fonksiyonunun (PACF) model derecesi olan p sayısından sonra aniden sıfıra düşmesidir. Verilen model birinci dereceden (AR(1)) olduğu için PACF birinci gecikmeden sonra kesilme özelliği gösterir.

Step-by-Step Solution

1

Model yapısının tanımlanması

AR(1) süreci

Verilen

(1 - 0.65L)Y_t = \epsilon_t

ifadesi,

Y_t

değerinin bir dönem önceki değerine (

L Y_t = Y_{t-1}

) bağlı olduğunu gösteren standart bir AR(1) formudur.

2

PACF karakteristik özelliğinin hatırlanması

p. gecikmeden sonra kesilme

Teorik olarak AR(p) süreçlerinde PACF, p gecikmesinden sonra sıfıra düşer. Bu modelde

p=1

olduğu için kesilme 1. gecikmeden sonra gerçekleşir.

3

ACF davranışının ve durağanlık koşulunun analizi

Durağan ve sönümlenen ACF

|0.65| < 1

olduğu için süreç durağandır. Durağan AR süreçlerinde ACF kesilmez, geometrik/üstel olarak azalarak sönümlenir.

Key Concept

AR(p) modellerinde PACF fonksiyonu p. gecikmeden sonra kesilir (cut-off), ACF ise sönümlenerek devam eder (tails off).

Question 4Question →

\epsilon_t

süreci, sıfır beklenen değerli ve sabit

\sigma_\epsilon^2

varyanslı bir beyaz gürültü süreci (white noise) olmak üzere;

Y_t = 15 + \epsilon_t - 0.7 \epsilon_{t-1}

şeklinde ifade edilen zaman serisi modeli ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Süreç her zaman durağandır ve

|-0.7| < 1

olduğu için tersinirdir.

Sürecin durağan olabilmesi için katsayının mutlak değerce 1'den küçük olması gerekir.

Sürecin otokorelasyon fonksiyonu (ACF) üstel olarak sönümlenerek sıfıra yaklaşır.

Sürecin kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) 1. gecikmeden sonra kesilerek sıfır olur.

Süreç tersinirdir ancak sabit terim (

\\mu=15

) nedeniyle durağan değildir.

Show answer & explanation

Answer: Süreç her zaman durağandır ve $|-0.7| < 1$ olduğu için tersinirdir.

Answer

Modelin her zaman durağan olduğu ve parametre kısıtı sağlandığı için tersinir olduğu bilgisi doğrudur.

Hareketli ortalama (MA) modelleri, yapıları gereği (beyaz gürültülerin sonlu toplamı olmaları) parametre değerlerinden bağımsız olarak her zaman durağandır. Verilen modelde

\theta_1 = -0.7

olup,

|-0.7| < 1

şartı sağlandığı için model aynı zamanda tersinir bir yapıdadır.

Step-by-Step Solution

1

Modelin türünü belirleme

Model

Y_t = \mu + \epsilon_t + \theta_1 \epsilon_{t-1}

formunda bir MA(1) sürecidir.

Gecikme operatörünün sadece hata terimi (beyaz gürültü) üzerinde olması modelin hareketli ortalama süreci olduğunu gösterir.

2

Durağanlık (Stationarity) analizi

MA modelleri her zaman durağandır.

Hareketli ortalama süreçleri, varyansı sabit olan beyaz gürültü terimlerinin sonlu bir doğrusal kombinasyonu oldukları için her zaman sabit ortalama ve varyans koşullarını sağlarlar.

3

Tersinirlik (Invertibility) analizi

|\theta_1| = |-0.7| = 0.7 < 1

olduğundan süreç tersinirdir.

Bir MA(1) sürecinin sonsuz dereceli bir AR sürecine dönüştürülebilmesi (tersinirlik) için katsayının mutlak değerce 1'den küçük olması şarttır.

Key Concept

Hareketli ortalama (MA) modellerinde durağanlık katsayılardan bağımsızdır, ancak tersinirlik için katsayı kısıtı gereklidir.

Alternative Method

Karakteristik denklem köklerini kontrol etmek:

1 - 0.7z = 0 \Rightarrow z = 1/0.7 \approx 1.42

. Kök birim çemberin dışında (

|z| > 1

) olduğu için süreç tersinirdir.

Estimated Time:1m 15s

Question 5Question →

$L$ gecikme operatörünü ve $\epsilon_t$ beyaz gürültü sürecini temsil etmek üzere, $(1 - 0,7L - \phi_2 L^2)Y_t = \epsilon_t$ şeklinde ifade edilen bir zaman serisi modelinin zayıf durağan (weakly stationary) olabilmesi için $\phi_2$ parametresinin alabileceği değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

-1,0 < \phi_2 < 0,3

-1,0 < \phi_2 < 1,0

-0,3 < \phi_2 < 1,0

0,0 < \phi_2 < 0,3

-0,7 < \phi_2 < 0,7

Show answer & explanation

Answer: $-1,0 < \phi_2 < 0,3$

Answer

\phi_2

parametresinin

-1,0 < \phi_2 < 0,3

aralığında olması

Zayıf durağanlık için AR(2) model katsayılarının bir üçgen bölgesi (durağanlık üçgeni) içerisinde kalması gerekir.

\phi_1 = 0,7

değeri için yapılan hesaplamada en dar kısıtlayıcı üst sınır

\phi_2 < 0,3

ve en dar kısıtlayıcı alt sınır

\phi_2 > -1,0

olarak bulunur. Dolayısıyla bu iki değer arasındaki aralık doğru cevaptır.

Step-by-Step Solution

1

Model tipini ve parametrelerini belirle

Verilen

(1 - 0,7L - \phi_2 L^2)Y_t = \epsilon_t

denklemi,

\phi_1 = 0,7

olan bir AR(2) modelidir.

Gecikme operatörü gösteriminde katsayıların işaretleri modele

\phi_1=0,7

ve

\phi_2

olarak yansır.

2

AR(2) süreci için zayıf durağanlık koşullarını yaz

1)

\phi_1 + \phi_2 < 1

, 2)

\phi_2 - \phi_1 < 1

, 3)

|\phi_2| < 1

İkinci dereceden otoregresif süreçlerin karakteristik denkleminin köklerinin birim çemberin dışında kalması için bu üç koşul sağlanmalıdır.

3

\phi_1 = 0,7

değerini koşullarda yerine koy

1)

0,7 + \phi_2 < 1 \Rightarrow \phi_2 < 0,3

; 2)

\phi_2 - 0,7 < 1 \Rightarrow \phi_2 < 1,7

; 3)

-1 < \phi_2 < 1

Verilen katsayı değerine göre

\phi_2

üzerindeki kısıtları bulmak gerekir.

4

Tüm koşulları sağlayan kesişim aralığını bul

\phi_2 < 0,3

ve

\phi_2 > -1

koşullarının birleşimi

-1,0 < \phi_2 < 0,3

aralığını verir.

Durağanlık için tüm eşitsizliklerin aynı anda sağlanması zorunludur.

Key Concept

AR(2) Modellerinde Durağanlık Koşulları

Estimated Time:1m 30s

Question 6Question →

Bir $Y_t$ zaman serisi süreci, $\epsilon_t$ hata terimleri (beyaz gürültü) ve $L$ gecikme operatörü yardımıyla $(1 - 0,9L + 0,2L^2)Y_t = \epsilon_t$ şeklinde modellenmiştir. Bu sürece ilişkin aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Süreç durağandır ve kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) ikinci gecikmeden sonra sıfıra kesilir.

Süreç durağan değildir çünkü karakteristik denklemin köklerinden en az biri birim çemberin içindedir.

Süreç durağandır ve otokorelasyon fonksiyonu (ACF) ikinci gecikmeden sonra sıfıra kesilir.

Sürecin durağan olabilmesi için aynı zamanda tersinirlik (invertibility) koşulunu da sağlaması gerekir.

Süreç durağan değildir çünkü

\phi_1 + \phi_2 > 1

koşulu ihlal edilmiştir.

Show answer & explanation

Answer: Süreç durağandır ve kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) ikinci gecikmeden sonra sıfıra kesilir.

Answer

Sürecin durağan olduğu ve PACF fonksiyonunun ikinci gecikmeden sonra kesildiği ifade doğrudur.

Verilen AR(2) modelinin parametreleri durağanlık için gerekli olan

|\phi_2| < 1

,

\phi_1 + \phi_2 < 1

ve

\phi_2 - \phi_1 < 1

kısıtlarını tam olarak sağlamaktadır. Ayrıca, teorik olarak bir AR(p) sürecinde kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF)

p

. gecikmeden itibaren sıfıra kesilirken, otokorelasyon fonksiyonu (ACF) sönümlenerek devam eder. Bu model ikinci dereceden (

p=2

) olduğu için PACF 2. gecikmeden sonra sıfır değerini alır.

Step-by-Step Solution

1

Model parametrelerini belirleyin.

\phi_1 = 0,9

ve

\phi_2 = -0,2

Gecikme operatörü formundaki

(1 - \phi_1 L - \phi_2 L^2)Y_t = \epsilon_t

yapısı ile verilen denklem karşılaştırılır.

2

AR(2) süreci için durağanlık koşullarını kontrol edin.

1)

0,9 - 0,2 = 0,7 < 1

(Sağlandı)
2)

-0,2 - 0,9 = -1,1 < 1

(Sağlandı)
3)

|-0,2| = 0,2 < 1

(Sağlandı)

İkinci dereceden otoregresif bir sürecin durağan olması için

\phi_1 + \phi_2 < 1

,

\phi_2 - \phi_1 < 1

ve

|\phi_2| < 1

koşullarının eş anlı sağlanması gerekir.

3

Otoregresif modellerin ACF ve PACF özelliklerini analiz edin.

ACF sönümlenir (tails off), PACF ise

p=2

gecikmeden sonra kesilir (cuts off).

AR(p) modellerinin karakteristik özelliği, kısmi otokorelasyon fonksiyonunun

p

gecikmeden sonra sıfıra eşit olmasıdır.

Key Concept

Otoregresif (AR) modellerde durağanlık koşulları ve ACF/PACF grafikleri yardımıyla model kimliklendirme.

Practice More

İkinci dereceden hareketli ortalama MA(2) sürecinin ACF ve PACF özelliklerini bu soruyla karşılaştırarak pekiştiriniz.

Estimated Time:1m 40s

Question 7Question →

e_t

süreci, sıfır beklenen değerli ve sabit

\sigma_e^2

varyanslı bir beyaz gürültü (white noise) süreci olmak üzere;

Y_t = 12 + e_t + 0.4e_{t-1}

şeklinde tanımlanan zaman serisi modeli için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Süreç her zaman durağandır ve katsayısı mutlak değerce 1'den küçük olduğu için tersinirdir.

Sürecin durağan olabilmesi için karakteristik denklemin köklerinin birim çemberin dışında olması gerekir.

Sürecin otokorelasyon fonksiyonu (ACF) zamanla üstel olarak azalarak sönümlenir.

Sürecin kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) birinci gecikmeden sonra kesilir.

Süreç durağan değildir ancak birinci dereceden farkı alındığında durağan hale gelir.

Show answer & explanation

Answer: Süreç her zaman durağandır ve katsayısı mutlak değerce 1'den küçük olduğu için tersinirdir.

Answer

Süreç durağandır ve katsayısı

(-1, 1)

aralığında olduğu için tersinirdir.

Verilen süreç bir MA(1) modelidir. Hareketli ortalama modelleri (MA), katsayıları ne olursa olsun her zaman durağan süreçlerdir. Tersinirlik koşulu ise modelin AR formuna dönüştürülebilmesini sağlar ve MA(1) için bu koşul

|\theta| < 1

olmasıdır. Soruda verilen katsayı 0.4 olduğu ve

|0.4| < 1

şartını sağladığı için süreç hem durağan hem de tersinirdir.

Step-by-Step Solution

1

Model tipini belirle.

Model

MA(1)

formundadır.

Süreç, mevcut dönemdeki hata terimi (

e_t

) ve bir dönem önceki hata teriminin (

e_{t-1}

) doğrusal bir bileşimidir.

2

Durağanlık (Stationarity) kontrolü yap.

Süreç durağandır.

Hareketli ortalama (MA) modelleri, beyaz gürültü serilerinin sonlu toplamı olduklarından, parametre değerleri ne olursa olsun her zaman zayıf durağandırlar.

3

Tersinirlik (Invertibility) kontrolü yap.

|0.4| < 1

olduğu için süreç tersinirdir.

MA(1)

modelinin sonsuz dereceli bir

AR

modeline dönüştürülebilmesi için parametresinin mutlak değerce 1'den küçük olması şarttır.

4

ACF ve PACF davranışını hatırla.

ACF 1. gecikmede kesilir, PACF sönümlenir.

MA(q)

modellerinin karakteristik özelliği, ACF'in

q

gecikme sonrası kesilmesidir.

Key Concept

MA Modellerinde Durağanlık ve Tersinirlik

Question 8Question →

Bir $Y_t$ zaman serisi süreci, $\epsilon_t$ beyaz gürültü sürecini göstermek üzere $Y_t = 0,8 Y_{t-1} - 0,15 Y_{t-2} + \epsilon_t$ denklemi ile tanımlanmıştır. Bu süreç ve istatistiksel özellikleri hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Süreç durağan bir yapıdadır ve kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) 2. gecikmeden sonra kesilerek sıfır değerini alır.

Süreç durağan bir yapıdadır ve otokorelasyon fonksiyonu (ACF) 2. gecikmeden sonra kesilerek sıfır değerini alır.

Süreç durağan değildir çünkü karakteristik denklemin köklerinden en az biri birim çemberin içindedir.

Süreç durağan bir yapıdadır ve kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) geometrik olarak sönümlenerek sıfıra yaklaşır.

Süreç durağan değildir ve otokorelasyon fonksiyonu (ACF) 2. gecikmeden sonra kesilir.

Show answer & explanation

Answer: Süreç durağan bir yapıdadır ve kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) 2. gecikmeden sonra kesilerek sıfır değerini alır.

Answer

Verilen süreç durağan bir AR(2) modelidir ve kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) 2. gecikmeden sonra kesilmektedir.

Verilen süreçte

\phi_1 = 0,8

ve

\phi_2 = -0,15

katsayıları AR(2) durağanlık üçgeni koşullarını (toplamlarının 1'den küçük olması, farklarının 1'den küçük olması ve son katsayının mutlak değerinin 1'den küçük olması) tam olarak sağlamaktadır. Ayrıca, kuramsal olarak bir AR(p) sürecinin kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF), sürecin derecesi olan p değerinden (bu soruda 2) sonra istatistiksel olarak sıfıra düşer yani kesilir.

Step-by-Step Solution

1

Modelin türünü ve derecesini belirleyin.

Süreç

Y_t = \phi_1 Y_{t-1} + \phi_2 Y_{t-2} + \epsilon_t

formundadır. Burada

\phi_1 = 0,8

ve

\phi_2 = -0,15

olduğu için bu bir AR(2) sürecidir.

Değişkenin kendi geçmiş değerlerine bağımlılığı modelin otoregresif (AR) olduğunu gösterir.

2

AR(2) süreci için durağanlık koşullarını kontrol edin.

1)

\phi_1 + \phi_2 = 0,8 - 0,15 = 0,65 < 1

(Sağlanıyor)
2)

\phi_2 - \phi_1 = -0,15 - 0,8 = -0,95 < 1

(Sağlanıyor)
3)

|\phi_2| = |-0,15| = 0,15 < 1

(Sağlanıyor).

Bu üç koşulun aynı anda sağlanması sürecin zayıf durağan olduğunu garanti eder.

3

AR(p) modellerinin ACF ve PACF davranışlarını hatırlayın.

AR(p) modellerinde otokorelasyon fonksiyonu (ACF) sönümlenerek sıfıra yaklaşırken, kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) p. gecikmeden sonra kesilir.

Bu özellik, Box-Jenkins metodolojisinde model belirleme aşamasının temelini oluşturur.

Key Concept

AR(p) modellerinde durağanlık koşulları ve PACF'nin kesilme (cut-off) özelliği.

Question 9Question →

$X_t = \epsilon_t - \theta_1 \epsilon_{t-1} - \theta_2 \epsilon_{t-2}$ şeklinde ifade edilen ikinci dereceden bir Hareketli Ortalama (MA(2)) sürecinin tersinir (invertible) olabilmesi için $\theta_1$ ve $\theta_2$ parametrelerinin sağlaması gereken kısıtlar kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

\theta_2 + \theta_1 < 1, \quad \theta_2 - \theta_1 < 1, \quad |\theta_2| < 1

|\theta_1| < 1

ve

|\theta_2| < 1

\theta_2 + \theta_1 < 1

ve

\theta_2 - \theta_1 < 1

\theta_2 + \theta_1 > 1, \quad \theta_2 - \theta_1 > 1, \quad |\theta_2| > 1

\theta_1 + \theta_2 < 1, \quad \theta_1 - \theta_2 < 1, \quad |\theta_1| < 1

Show answer & explanation

Answer: $\theta_2 + \theta_1 < 1, \quad \theta_2 - \theta_1 < 1, \quad |\theta_2| < 1$

Answer

Bir MA(2) sürecinin tersinir olabilmesi için parametrelerin

\theta_2 + \theta_1 < 1

,

\theta_2 - \theta_1 < 1

ve

|\theta_2| < 1

koşullarını aynı anda sağlaması gerekir.

Verilen eşitsizlik sistemi (

\theta_2 + \theta_1 < 1, \theta_2 - \theta_1 < 1, |\theta_2| < 1

), karakteristik denklemin köklerinin modüllerinin 1'den büyük olmasını sağlayan matematiksel sınırları tam olarak ifade eder.

Step-by-Step Solution

1

Karakteristik denklemin kurulması

\theta(z) = 1 - \theta_1 z - \theta_2 z^2 = 0

MA sürecinin tersinirliği, bu denklemin köklerinin (

z

) birim çemberin dışında (

|z| > 1

) olmasına bağlıdır.

2

Köklerin birim çember dışında kalma şartlarının belirlenmesi

İkinci dereceden bir denklem için

|z_1| > 1

ve

|z_2| > 1

olması durumu, katsayılar arasındaki eşitsizlik ilişkileriyle tanımlanır.

Köklerin ve katsayıların (Vieta formülleri) birbirine olan bağlılığı, tersinirlik bölgesini oluşturur.

3

Parametre kısıtlarının formüle edilmesi

\theta_2 + \theta_1 < 1

,

\theta_2 - \theta_1 < 1

ve

-1 < \theta_2 < 1

Bu eşitsizlikler, katsayı düzleminde bir 'tersinirlik üçgeni' tanımlar ve sürecin bir AR(

\infty

) modeline dönüştürülebilmesini sağlar.

Key Concept

MA süreçlerinde tersinirlik, sürecin bir AR(sonsuz) süreci olarak ifade edilebilme kapasitesidir ve bu durum MA karakteristik denkleminin köklerinin birim çember dışında kalmasını gerektirir.

Estimated Time:1m 30s

Question 10Question →

Bir zaman serisi analizinde, değişkenler arasındaki ilişki $X_t = 0,7 X_{t-1} + \epsilon_t - \theta \epsilon_{t-1}$ şeklinde ifade edilen bir ARMA(1,1) süreci ile modellenmiştir. Bu modelin tersinirlik (invertibility) özelliğine sahip olması, yani hata terimi $\epsilon_t$ 'nin serinin geçmiş gözlemlerinin ( $X_{t-j}$ ) bir fonksiyonu olarak yazılabilmesi için $\theta$ parametresinin sağlaması gereken temel koşul aşağıdakilerden hangisidir?

|\theta| < 1

|\theta| < 0,7

\theta = 0,7

|\theta| > 1

\theta > 1

Show answer & explanation

Answer: $|\theta| < 1$

Answer

Modelin tersinir olması için hareketli ortalama parametresinin mutlak değeri 1'den küçük olmalıdır (

|\theta| < 1

)

ARMA(p,q) modellerinde tersinirlik (invertibility) özelliği, modelin hareketli ortalama (MA) kısmının karakteristik denkleminin köklerinin birim çemberin dışında olması durumunda sağlanır. MA(1) yapısı için bu kısıt, katsayının mutlak değerinin 1'den küçük olması (

|\theta| < 1

) anlamına gelir. Soruda verilen modelde AR katsayısı (

0,7

) durağanlık ile ilgiliyken, tersinirlik doğrudan MA katsayısı olan

\theta

ile belirlenir.

Step-by-Step Solution

1

Modelin bileşenlerini ayrıştırın.

Model AR(1) ve MA(1) bileşenlerinden oluşan bir ARMA(1,1) sürecidir:

X_t - 0,7 X_{t-1} = \epsilon_t - \theta \epsilon_{t-1}

.

Tersinirlik ve durağanlık koşullarının hangi parametrelere bağlı olduğunu belirlemek gerekir.

2

Tersinirlik (invertibility) tanımını uygulayın.

Tersinirlik, modelin MA (Hareketli Ortalama) kısmıyla ilgilidir. Gecikme operatörü cinsinden

(1 - \theta B) \epsilon_t = (1 - 0,7 B) X_t

şeklinde yazıldığında,

\epsilon_t

teriminin çözülebilmesi için

1 - \theta B = 0

denkleminin kökü birim çemberin dışında olmalıdır.

Tersinirlik, bir MA sürecinin AR(

\infty

) sürecine dönüştürülebilme yeteneğidir.

3

Katsayı kısıtını belirleyin.

Kök

B = 1/\theta

olduğuna göre,

|1/\theta| > 1

şartı

|\theta| < 1

sonucunu verir.

Birinci dereceden hareketli ortalama modelleri için temel matematiksel gereklilik budur.

Key Concept

Tersinirlik (Invertibility) Koşulu

Estimated Time:1m 30s

Question 11Question →

\epsilon_t

süreci, sıfır beklenen değerli ve sabit varyanslı (beyaz gürültü) bir süreç olmak üzere;

X_t = \epsilon_t + 0,5\epsilon_{t-1}

olarak tanımlanan birinci dereceden hareketli ortalama MA(1) süreci ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Süreç her zaman durağandır ve katsayısı mutlak değerce 1'den küçük olduğu için tersinirdir.

Sürecin durağan olabilmesi için katsayı değerinin mutlak değerce 1'den küçük olması şarttır.

Sürecin otokorelasyon fonksiyonu (ACF) üstel olarak sönümlenirken, kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) birinci gecikmeden sonra kesilir.

Sürecin birinci gecikmedeki otokorelasyon katsayısı

\rho_1 = 0,5

değerine eşittir.

Süreç durağan bir yapıdadır ancak tersinir (invertible) bir süreç değildir.

Show answer & explanation

Answer: Süreç her zaman durağandır ve katsayısı mutlak değerce 1'den küçük olduğu için tersinirdir.

Answer

Verilen MA(1) süreci her zaman durağandır ve parametre değeri mutlak değerce 1'den küçük olduğu için tersinirdir.

Hareketli Ortalama (MA) modelleri, hata terimlerinin sonlu bir toplamı oldukları için her zaman durağandır. MA(1) modelinin tersinir (invertible) olması için

\theta

katsayısının mutlak değerinin 1'den küçük olması (

|\theta| < 1

) gerekir. Verilen modelde

0,5 < 1

olduğu için süreç hem durağan hem de tersinirdir.

Step-by-Step Solution

1

Model tipini ve parametrelerini belirle.

Model

X_t = \epsilon_t + 0,5\epsilon_{t-1}

şeklinde bir MA(1) modelidir ve

\theta = 0,5

katsayısına sahiptir.

Modelin özelliklerini analiz etmek için önce derecesini ve katsayılarını tanımlamak gerekir.

2

Durağanlık (stationarity) durumunu kontrol et.

MA(q) modelleri katsayı kısıtı olmaksızın her zaman durağandır.

Hareketli ortalama modelleri, beyaz gürültü serilerinin sonlu bir doğrusal kombinasyonu olduğu için varyans ve beklenen değer zamandan bağımsızdır.

3

Tersinirlik (invertibility) durumunu kontrol et.

|\theta| = |0,5| < 1

olduğu için süreç tersinirdir.

Bir MA(1) sürecinin AR(

\infty

) formunda yazılabilmesi için katsayısının mutlak değerce 1'den küçük olması gerekir.

4

ACF ve PACF davranışlarını belirle.

ACF 1. gecikmeden sonra kesilir (

q=1

), PACF ise sönümlenerek sıfıra yaklaşır.

MA modellerinde ACF derecesi kadar gecikmede kesilirken, PACF karakteristik olarak sönümlenme gösterir.

Key Concept

Hareketli ortalama (MA) modellerinde durağanlık katsayıdan bağımsızdır, ancak tersinirlik katsayı sınırlarına bağlıdır.

Question 12Question →

$\epsilon_t$ süreci, $E[\epsilon_t] = 0$ ve $Var(\epsilon_t) = \sigma_\epsilon^2$ özelliklerine sahip bir beyaz gürültü (white noise) süreci olmak üzere;

Y_t = \epsilon_t + 0,8 \epsilon_{t-1} - 0,15 \epsilon_{t-2}

şeklinde tanımlanan ikinci dereceden hareketli ortalama süreci MA(2) ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Süreç, parametre değerlerinden bağımsız olarak her zaman durağandır ve bu model için tersinirlik (invertibility) koşulları sağlanmaktadır.

Süreç durağandır ancak katsayılar toplamı mutlak değerce 1'den büyük olduğu için tersinir (invertible) değildir.

Sürecin otokorelasyon fonksiyonu (ACF) sönümlenerek azalırken, kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) 2. gecikmeden sonra kesilir.

Sürecin durağan olabilmesi için karakteristik denklemin köklerinin birim çemberin dışında kalması gerekir.

Süreç ne durağandır ne de tersinirdir.

Show answer & explanation

Answer: Süreç, parametre değerlerinden bağımsız olarak her zaman durağandır ve bu model için tersinirlik (invertibility) koşulları sağlanmaktadır.

Answer

Süreç, parametre değerlerinden bağımsız olarak her zaman durağandır ve verilen katsayılar altında tersinirlik koşullarını sağlamaktadır.

Verilen süreç bir MA(2) sürecidir. Hareketli ortalama modelleri (MA), katsayıları ne olursa olsun sonlu sayıda beyaz gürültü teriminin toplamından oluştukları için her zaman zayıf durağandırlar. Tersinirlik (invertibility) ise bu sürecin yakınsak bir otoregresif (AR) sürece dönüştürülebilmesi için gereklidir. MA(2) süreci için tersinirlik koşulları olan

\theta_2 \pm \theta_1 < 1

ve

|\theta_2| < 1

kısıtları, verilen

0,8

ve

-0,15

değerleri ile tam olarak sağlandığından süreç aynı zamanda tersinirdir.

Step-by-Step Solution

1

Modelin durağanlık (stationarity) özelliğini değerlendir.

MA(q) süreçleri, katsayı değerleri ne olursa olsun her zaman sonlu varyansa ve sabit ortalamaya sahip oldukları için her zaman durağandır.

Hareketli ortalama modellerinin yapısı gereği durağanlık için katsayı kısıtı aranmaz.

2

Tersinirlik (invertibility) koşullarını kontrol et.

MA(2) için tersinirlik koşulları: (1)

\theta_2 + \theta_1 < 1

, (2)

\theta_2 - \theta_1 < 1

, (3)

|\theta_2| < 1

. Verilen modelde

\theta_1 = 0,8

ve

\theta_2 = -0,15

olduğuna göre:
1)

-0,15 + 0,8 = 0,65 < 1

(Sağlanır)
2)

-0,15 - 0,8 = -0,95 < 1

(Sağlanır)
3)

|-0,15| = 0,15 < 1

(Sağlanır)

MA sürecinin bir AR(

\infty

) süreci olarak yazılabilmesi için tersinirlik koşulunun sağlanması gerekir.

3

Modelin ACF ve PACF davranışlarını belirle.

MA(2) süreci için otokorelasyon fonksiyonu (ACF) 2. gecikmeden sonra (q=2) sıfıra düşer (kesilir). Kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) ise sönümlenerek azalır.

MA modelleri ACF'teki kesilme (cut-off) davranışıyla karakterize edilir.

Key Concept

Hareketli Ortalama (MA) Modellerinde Durağanlık ve Tersinirlik

Question 13Question →

Bir zaman serisi analisti, $Y_t$ serisi için gecikme operatörü ( $B$ ) kullanılarak ifade edilen aşağıdaki modeli tahmin etmiştir:

(1 - 1,2B + 0,35B^2) Y_t = (1 - 1,5B) \epsilon_t

(Burada $\epsilon_t$ , sıfır ortalamalı ve sabit varyanslı beyaz gürültü sürecidir.)

Elde edilen bu modelin özellikleri ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Model, durağan bir ARMA(2,1) süreci olup tersinir (invertible) değildir.

Model, durağan olmayan bir ARMA(2,1) süreci olup tersinirdir.

Modelin gecikme operatörüne (

B

) bağlı otoregresif polinomunun kökleri mutlak değerce 1'den küçük çıktığı için süreç durağandır.

Modelin gecikme operatörüne (

B

) bağlı hareketli ortalama polinomunun kökü mutlak değerce 1'den büyük çıktığı için süreç tersinirdir.

Modele ait teorik otokorelasyon (ACF) fonksiyonu 1. gecikmeden, kısmi otokorelasyon (PACF) fonksiyonu ise 2. gecikmeden sonra aniden sıfıra kesilir.

Show answer & explanation

Answer: Model, durağan bir ARMA(2,1) süreci olup tersinir (invertible) değildir.

Answer

Model, durağan bir ARMA(2,1) süreci olup tersinir (invertible) değildir.

Verilen denklemde eşitliğin sol tarafı 2. dereceden bir AR, sağ tarafı ise 1. dereceden bir MA süreci barındırdığından model ARMA(2,1)'dir. Gecikme operatörüne bağlı AR polinomunun (

1 - 1,2B + 0,35B^2 = 0

) kökleri 2 ve 10/7'dir. Her ikisi de mutlak değerce 1'den büyük olduğu için süreç durağandır. Diğer yandan MA polinomunun (

1 - 1,5B = 0

) kökü olan 2/3 değeri mutlak değerce 1'den küçük olduğu için süreç tersinir (invertible) değildir.

Step-by-Step Solution

1

Eşitliğin sağ ve sol taraflarındaki polinom derecelerini inceleyerek model türünü belirleyin.

Sol taraftaki otoregresif (AR) polinomun en büyük derecesi 2, sağ taraftaki hareketli ortalama (MA) polinomunun en büyük derecesi 1'dir. Model ARMA(2,1)'dir.

ARMA(p,q) modellerinde p, AR polinomunun; q ise MA polinomunun gecikme derecesini ifade eder.

2

Modelin durağanlığını kontrol etmek için otoregresif polinomun (

1 - 1,2B + 0,35B^2 = 0

) köklerini bulun.

Kökler hesaplandığında

B_1 = 2

ve

B_2 = 10/7 \approx 1,428

bulunur. Her iki kök de mutlak değerce 1'den büyüktür (

|B_i| > 1

). Dolayısıyla süreç durağandır.

Bir ARMA sürecinin durağan olabilmesi için gecikme operatörüne bağlı AR polinomunun tüm köklerinin birim çemberin dışında (mutlak değerce 1'den büyük) yer alması gerekir.

3

Modelin tersinirliğini (invertibility) kontrol etmek için hareketli ortalama polinomunun (

1 - 1,5B = 0

) kökünü bulun.

Denklem çözüldüğünde

1,5B = 1 \Rightarrow B = 2/3 \approx 0,667

elde edilir. Kök mutlak değerce 1'den küçük olduğu için süreç tersinir değildir.

Bir ARMA sürecinin tersinir olabilmesi için gecikme operatörüne bağlı MA polinomunun tüm köklerinin birim çemberin dışında (mutlak değerce 1'den büyük) yer alması gerekir.

4

Bulunan bu özellikleri seçeneklerle karşılaştırın.

Modelin durağan bir ARMA(2,1) olduğu ancak tersinir olmadığı sonucuna varılır.

Doğru eşleşme yalnızca bu çıkarımları bir arada sunan ifadede yer almaktadır.

Key Concept

ARMA Modellerinde Durağanlık ve Tersinirlik Koşullarının İncelenmesi

Alternative Method

Durağanlık kontrolü için AR polinomunun köklerini bulmak yerine, AR(2) süreci parametre koşulları kullanılabilir:

\phi_1 + \phi_2 < 1

,

\phi_2 - \phi_1 < 1

ve

|\phi_2| < 1

. Verilen modelde

\phi_1 = 1,2

ve

\phi_2 = -0,35

'tir. Kontrol edildiğinde

1,2 - 0,35 = 0,85 < 1

,

-0,35 - 1,2 = -1,55 < 1

ve

|-0,35| = 0,35 < 1

eşitsizliklerinin üçü de sağlandığından, modelin durağan olduğu kök hesaplamadan da teyit edilebilir.

Estimated Time:1m 30s

Question 14Question →

(1 - 0,7B)Y_t = (1 + 0,3B)\epsilon_t

Yukarıda gecikme operatörü ( $B$ ) kullanılarak ifade edilen zaman serisi süreci için modelin türü, durağanlık ve tersinirlik özellikleri bakımından aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Model ARMA(1,1) yapısındadır; süreç hem durağan hem de tersinirdir.

Model ARMA(1,1) yapısındadır; süreç durağandır ancak tersinir değildir.

Model ARMA(1,1) yapısındadır; süreç tersinirdir ancak durağan değildir.

Model ARMA(2,1) yapısındadır; süreç durağanlık koşulunu sağlamaktadır.

Model MA(1) yapısındadır; süreç tersinirlik koşulunu sağlamaktadır.

Show answer & explanation

Answer: Model ARMA(1,1) yapısındadır; süreç hem durağan hem de tersinirdir.

Answer

Verilen süreç ARMA(1,1) yapısındadır ve katsayılar mutlak değerce 1'den küçük olduğu için süreç hem durağan hem de tersinirdir.

Verilen denklemde

(1 - 0,7B)Y_t

kısmı modelin birinci dereceden bir otoregresif (AR) bileşene sahip olduğunu,

(1 + 0,3B)\epsilon_t

kısmı ise birinci dereceden bir hareketli ortalama (MA) bileşene sahip olduğunu gösterir. Bu durum modeli ARMA(1,1) yapar. AR katsayısı olan

0,7

mutlak değerce 1'den küçük olduğu için süreç durağandır. MA katsayısı (burada

-0,3

olarak da görülebilir) mutlak değerce 1'den küçük olduğu için süreç tersinirdir.

Step-by-Step Solution

1

Modelin derecelerini (p, q) belirleme

p=1

ve

q=1

(ARMA(1,1))

Gecikme operatörü

B

ifadesindeki en yüksek kuvvetler, AR kısmı için sol tarafta, MA kısmı için sağ tarafta incelenir.

2

Durağanlık koşulunun kontrol edilmesi

|0,7| < 1

olduğu için durağandır.

Birinci dereceden otoregresif bileşenin (AR(1)) durağan olması için

\phi

katsayısının mutlak değerinin 1'den küçük olması gerekir.

3

Tersinirlik (invertibility) koşulunun kontrol edilmesi

|0,3| < 1

olduğu için tersinirdir.

Birinci dereceden hareketli ortalama bileşenin (MA(1)) tersinir olması için

\theta

katsayısının mutlak değerinin 1'den küçük olması gerekir.

Key Concept

ARMA modellerinde durağanlık AR katsayılarına, tersinirlik ise MA katsayılarına bağlıdır.

Practice More

Katsayıların 1'den büyük olduğu bir durumda köklerin birim çemberin neresinde kalacağını inceleyin.

Alternative Method

Denklemi açık halde yazarak (

Y_t = 0,7Y_{t-1} + \epsilon_t + 0,3\epsilon_{t-1}

) katsayıları doğrudan AR ve MA terimlerinin önünde görebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 15Question →

$L$ gecikme operatörünü ve $\epsilon_t$ beyaz gürültü sürecini temsil etmek üzere, bir zaman serisi süreci $(1 + 0,4L)Y_t = 14 + \epsilon_t$ denklemi ile tanımlanmıştır.

Buna göre bu sürece ilişkin aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Sürecin beklenen değeri

E[Y_t] = 10

olup süreç durağandır.

Otokorelasyon fonksiyonu (ACF) birinci gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfıra kesilir.

Süreç durağan değildir çünkü otoregresif katsayı mutlak değerce

1

'den küçüktür.

Kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) zaman içinde sönümlenerek sıfıra yaklaşır.

Süreç, tersinirlik koşulunun sağlanması gereken birinci dereceden bir hareketli ortalama sürecidir.

Show answer & explanation

Answer: Sürecin beklenen değeri $E[Y_t] = 10$ olup süreç durağandır.

Answer

Sürecin beklenen değerinin 10 olduğu ve sürecin durağan olduğu ifadesi doğrudur.

Verilen denklemde otoregresif katsayı

\phi = -0,4

olarak belirlenmiştir.

|-0,4| < 1

olduğu için süreç zayıf durağandır. Beklenen değer hesaplanırken

\mu = \delta / (1 - \phi)

formülü kullanıldığında

14 / (1 - (-0,4)) = 14 / 1,4 = 10

sonucu elde edilir. Dolayısıyla sürecin hem durağan olduğu hem de ortalamasının 10 olduğu ifadesi doğrudur.

Step-by-Step Solution

1

Model denklemini standart otoregresif formda yazınız.

Y_t + 0,4Y_{t-1} = 14 + \epsilon_t \Rightarrow Y_t = 14 - 0,4Y_{t-1} + \epsilon_t

Gecikme operatörü formundan otoregresif katsayıyı ve sabit terimi belirlemek için standart forma dönüştürme gereklidir.

2

Durağanlık koşulunu kontrol ediniz.

\phi_1 = -0,4

ve

|-0,4| = 0,4 < 1

AR(1) sürecinin durağan olması için otoregresif katsayının mutlak değerinin 1'den küçük olması şarttır.

3

Sürecin beklenen değerini (ortalamasını) hesaplayınız.

E[Y_t] = \mu = \frac{\delta}{1 - \phi_1} = \frac{14}{1 - (-0,4)} = \frac{14}{1,4} = 10

Durağan bir AR(1) sürecinde beklenen değer, sabit terimin (1 - katsayı) ifadesine bölünmesiyle bulunur.

Key Concept

Birinci dereceden otoregresif modellerde (AR(1)) durağanlık katsayıya bağlıdır; ACF sönümlenirken PACF kesilir.

Practice More

Benzer bir analizi AR(2) süreci için yaparak durağanlık üçgeni (stationarity triangle) kısıtlarını inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 16Question →

Durağan olduğu bilinen bir zaman serisine ilişkin ilk dört gecikme için hesaplanan kısmi otokorelasyon fonksiyonu ( $PACF$ ) değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Gecikme ( $k$ )	Kısmi Otokorelasyon ( $\phi_{kk}$ )
1	0,72
2	-0,45
3	0,04
4	-0,02

Yapılan incelemede $\pm 2/\sqrt{n}$ formülü ile hesaplanan güven sınırlarının yaklaşık $\pm 0,15$ olduğu belirlenmiştir. Box-Jenkins metodolojisinin kimliklendirme (identification) aşamasında, bu seriyi modellemek için önerilecek en uygun model aşağıdakilerden hangisidir?

AR(2)

MA(2)

AR(3)

ARMA(1,1)

MA(1)

Show answer & explanation

Answer: $AR(2)$

Answer

AR(2)

(İkinci Dereceden Otoregresif Model)

Durağan zaman serilerinde kısmi otokorelasyon fonksiyonu (

PACF

), otoregresif (

AR

) modellerin derecesini belirlemek için kullanılır. Eğer

PACF

değerleri

p

gecikmesinden sonra istatistiksel olarak sıfıra iniyorsa (kesiliyorsa), bu durum serinin

AR(p)

süreci ile temsil edilebileceğini gösterir. Tabloda 1. ve 2. gecikmeler anlamlıyken, 3. gecikmeden itibaren değerler güven sınırları içine girdiğinden model

AR(2)

olarak tanımlanır.

Step-by-Step Solution

1

Hesaplanan

PACF

değerlerini verilen güven sınırları ile karşılaştırınız.

1. gecikme (0,72) ve 2. gecikme (-0,45)

\pm 0,15

sınırlarının dışındadır; 3. (0,04) ve 4. (-0,02) gecikmeler ise bu sınırların içindedir.

Bir gecikmenin model derecesini belirlemede dikkate alınabilmesi için istatistiksel olarak sıfırdan farklı (anlamlı) olması gerekir.

2

PACF

fonksiyonunun davranış biçimini (kesilme veya sönümlenme) analiz ediniz.

Fonksiyon 2. gecikmeden sonra aniden kesilmiştir (cut-off).

PACF

grafiğinde anlamlı değerlerin belirli bir

p

gecikmesinden sonra aniden durması, sürecin

AR(p)

olduğunu gösterir.

3

Elde edilen bilgilere dayanarak uygun model derecesini atayınız.

Anlamlı son gecikme 2 olduğu için model

AR(2)

olarak belirlenir.

Box-Jenkins metodolojisine göre

PACF

kesilmesi

AR

derecesini doğrudan verir.

Key Concept

Kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF), bir zaman serisinde aradaki gecikmelerin etkisi arındırıldıktan sonra iki zaman noktası arasındaki ilişkiyi ölçer ve

AR(p)

modellerinde

p

gecikmesinden sonra kesilir.

Practice More

Aynı serinin otokorelasyon fonksiyonu (ACF) değerlerini tahmin ederek

AR(2)

modeli için ACF sönümlenme biçimini (üstel mi yoksa sinüzoidal mi) analiz ediniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 17Question →

Bir stokastik sürece ilişkin hesaplanan otokorelasyon fonksiyonu ( $ACF$ ) değerlerinin ilk üç gecikme için sırasıyla $\rho_1 = 0,60$ , $\rho_2 = 0,36$ ve $\rho_3 = 0,216$ olduğu saptanmıştır. Bu serinin durağan olduğu bilindiğine göre, serinin davranışını en iyi açıklayan model aşağıdakilerden hangisidir?

Birinci dereceden otoregresif süreç (

AR(1)

)

Birinci dereceden hareketli ortalama süreci (

MA(1)

)

İkinci dereceden hareketli ortalama süreci (

MA(2)

)

Birinci dereceden bütünleşik süreç (

I(1)

)

Beyaz gürültü (White Noise) süreci

Show answer & explanation

Answer: Birinci dereceden otoregresif süreç ( $AR(1)$ )

Answer

Birinci dereceden otoregresif süreç (

AR(1)

)

Durağan bir birinci dereceden otoregresif sürecin (

AR(1)

) otokorelasyon fonksiyonu

\rho_k = \phi^k

formülüyle hesaplanır. Soruda verilen

\rho_1 = 0,60

,

\rho_2 = 0,36

ve

\rho_3 = 0,216

değerleri,

\phi = 0,60

parametresine sahip bir

AR(1)

modelinin üstel sönümlenme özelliğini tam olarak yansıtmaktadır.

Step-by-Step Solution

1

Verilen ACF değerleri arasındaki matematiksel ilişkiyi analiz edin.

0,60^1 = 0,60

;

0,60^2 = 0,36

;

0,60^3 = 0,216

ACF değerlerinin geometrik bir dizi (üstel azalış) oluşturup oluşturmadığını belirlemek için.

2

Bulunan ilişkiyi kuramsal model özellikleriyle eşleştirin.

\rho_k = \rho_1^k = (0,60)^k

Durağan bir

AR(1)

modelinin karakteristik ACF özelliği

\rho_k = \phi^k

şeklindedir.

3

Alternatif modellerin (MA, White Noise vb.) ACF davranışlarını eleyin.

Hareketli ortalama modelleri kesilme, AR modelleri ise sönümlenme gösterir.

Doğru modelin

AR

yapısında olduğundan emin olmak için.

Key Concept

AR(1) süreçlerinde otokorelasyon fonksiyonu (ACF) üstel olarak sönümlenir.

Practice More

Aynı serinin Kısmi Otokorelasyon Fonksiyonu (PACF) grafiğinin nasıl görüneceğini (kesilme mi yoksa sönümlenme mi) inceleyiniz.

Estimated Time:1m 30s

Question 18Question →

Zaman serisi analizinde, bir stokastik sürecin zayıf durağan (kovaryans durağan) olarak nitelendirilebilmesi için belirli istatistiksel momentlerin zamandan bağımsız olması gerekmektedir. Buna göre, durağanlık kavramı ve koşulları ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Bir serinin zayıf durağan olması için beklenen değeri ve varyansı zaman boyunca sabit kalmalı, otokovaryans fonksiyonu ise sadece gecikme süresine bağlı olmalıdır.

Zayıf durağanlık, serinin tüm momentlerinin ve ortak olasılık dağılım fonksiyonunun zaman boyunca tamamen değişmez kalmasını gerektiren bir koşuldur.

Y_t = \phi Y_{t-1} + \epsilon_t

yapısındaki bir AR(1) sürecinin durağan olabilmesi için

\phi

katsayısının mutlak değerce 1'den büyük olması gerekir.

Hareketli ortalama (MA) modellerinin durağan sayılabilmesi için karakteristik denklemin köklerinin birim çemberin dışında yer alması zorunludur.

Eğer bir zaman serisi zamanla doğrusal artış gösteren bir trende sahipse, bu seri beklenen değeri zamanın bir fonksiyonu olduğu için zayıf durağan kabul edilir.

Show answer & explanation

Answer: Bir serinin zayıf durağan olması için beklenen değeri ve varyansı zaman boyunca sabit kalmalı, otokovaryans fonksiyonu ise sadece gecikme süresine bağlı olmalıdır.

Answer

Zayıf durağanlık, bir zaman serisinin beklenen değerinin ve varyansının zaman boyunca sabit olması, otokovaryansının ise sadece gecikmeye bağlı olması durumudur.

Zayıf durağanlık (kovaryans durağanlığı), bir stokastik sürecin beklenen değerinin zamandan bağımsız bir sabit (

E(Y_t) = \mu

) olması, varyansının zaman boyunca sabit ve sonlu (

Var(Y_t) = \sigma^2

) olması ve iki farklı zaman dilimi arasındaki otokovaryansın sadece zaman farkına (gecikmeye) bağlı olmasıdır. Doğru cevap bu koşulları tam olarak yansıtmaktadır.

Step-by-Step Solution

1

Zayıf durağanlık (kovaryans durağanlık) tanımını analiz et.

Bir sürecin zayıf durağan olması için şu üç şart sağlanmalıdır:

E(Y_t) = \mu

,

Var(Y_t) = \sigma^2 < \infty

ve

Cov(Y_t, Y_{t-k}) = \gamma_k

.

Zayıf durağanlık, serinin temel istatistiksel özelliklerinin zamana göre değişmemesini hedefler.

2

Kesin durağanlık farkını belirle.

Zayıf durağanlık sadece ilk iki momentle (ortalama, varyans, kovaryans) ilgilenirken, kesin durağanlık tüm dağılımın zamandan bağımsız olmasını gerektirir.

Öğrencilerin en çok karıştırdığı nokta bu iki tanım arasındaki kapsam farkıdır.

3

Spesifik model kısıtlarını kontrol et.

AR(1) için

|\phi| < 1

şartı durağanlık içindir. MA modelleri ise her zaman durağandır; katsayı kısıtları (

|\theta| < 1

) durağanlık için değil, tersinirlik içindir.

Modeller arası ayrımı yapmak çözüm için kritiktir.

Key Concept

Zayıf Durağanlık Koşulları

Question 19Question →

\epsilon_t

süreci, sıfır beklenen değerli ve sabit

\sigma_\epsilon^2

varyanslı bir beyaz gürültü (white noise) süreci olmak üzere;

Y_t = 25 + \epsilon_t - 1,4\epsilon_{t-1}

şeklinde tanımlanan birinci dereceden hareketli ortalama MA(1) modeli hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Süreç durağandır ancak tersinir (invertible) değildir.

Sürecin durağan olabilmesi için katsayının mutlak değerce 1'den küçük olması şarttır.

Süreç hem durağandır hem de tersinirlik koşulunu sağlamaktadır.

Sürecin otokorelasyon fonksiyonu (ACF) üstel olarak sönümlenerek sıfıra yaklaşır.

Sürecin kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) 1. gecikmeden sonra kesilir.

Show answer & explanation

Answer: Süreç durağandır ancak tersinir (invertible) değildir.

Answer

Model durağandır ancak katsayı mutlak değerce 1'den büyük olduğu için tersinir değildir.

Verilen model bir MA(1) modelidir. Hareketli ortalama modelleri, katsayıları ne olursa olsun (sonlu oldukları sürece) her zaman durağanlık özelliğine sahiptir. Ancak, modelin sonsuz dereceli bir AR sürecine dönüştürülebilmesi (tersinirlik) için katsayının mutlak değerinin 1'den küçük olması şarttır. Sorudaki modelde katsayı 1,4 olduğu için tersinirlik şartı sağlanmaz.

Step-by-Step Solution

1

Modelin türünü ve parametrelerini belirle

Y_t

süreci bir MA(1) modelidir ve parametresi

\theta_1 = 1,4

(veya model yazımına göre

-1,4

) değerindedir.

Zaman serisi denklemi

Y_t = \mu + \epsilon_t + \theta_1 \epsilon_{t-1}

formundadır.

2

Durağanlık (Stationarity) koşulunu kontrol et

Süreç durağandır.

Hareketli ortalama (MA) modelleri, katsayı değerlerinden bağımsız olarak, sonlu bir doğrusal kombinasyon oldukları için her zaman durağandır.

3

Tersinirlik (Invertibility) koşulunu kontrol et

|1,4| > 1

olduğu için süreç tersinir değildir.

Bir MA(1) sürecinin tersinir olabilmesi için katsayının mutlak değerinin 1'den küçük (

|\theta_1| < 1

) olması gerekir.

4

ACF ve PACF davranışlarını hatırla

ACF 1. gecikmede kesilir, PACF sönümlenir.

MA(q) modellerinde ACF q. gecikmeden sonra kesilirken, PACF karakteristik olarak sönümlenme gösterir.

Key Concept

MA Modellerinde Durağanlık ve Tersinirlik

Question 20Question →

Bir araştırmacı, durağan bir zaman serisinin modelini belirlemek için otokorelasyon ( $ACF$ ) ve kısmi otokorelasyon ( $PACF$ ) grafiklerini incelemektedir. Yapılan analiz sonucunda $ACF$ grafiğinin geometrik olarak sıfıra doğru sönümlendiği (tailing off), $PACF$ grafiğinde ise ilk iki gecikmenin güven sınırlarının dışında kalarak anlamlı olduğu, ancak üçüncü gecikmeden itibaren tüm değerlerin kesildiği (cutting off) görülmüştür.

Buna göre, Box-Jenkins metodolojisi kapsamında araştırmacının kimliklendirmesi gereken en uygun model aşağıdakilerden hangisidir?

AR(2)

MA(2)

AR(1)

MA(1)

ARMA(1,1)

Show answer & explanation

Answer: $AR(2)$

Answer

İkinci dereceden otoregresif model olan

AR(2)

süreci en uygun modeldir.

Zaman serisi analizinde, Otoregresif (AR) süreçlerin karakteristik özelliği, otokorelasyon fonksiyonunun (

ACF

) sönümlenerek azalması, kısmi otokorelasyon fonksiyonunun (

PACF

) ise model derecesi olan

p

gecikmesinden sonra kesilmesidir. Soruda PACF'nin 2. gecikmeden sonra kesildiği ve ACF'nin sönümlendiği belirtildiği için bu süreç

AR(2)

modelidir.

Step-by-Step Solution

1

ACF grafiğinin davranışını analiz et

ACF sönümlenme (tailing off) gösteriyor.

ACF'nin sönümlenmesi, sürecin saf bir Hareketli Ortalama (MA) modeli olmadığını, muhtemelen bir Otoregresif (AR) model olduğunu gösterir.

2

PACF grafiğinin davranışını ve kesilme noktasını belirle

PACF 2. gecikmede anlamlı, 3. gecikmede kesilmiş.

PACF'nin

p

gecikmesinden sonra kesilmesi, modelin

p

. dereceden bir AR süreci olduğunu kanıtlar.

3

Bulguları birleştirerek model derecesini ata

p = 2

olan Otoregresif model.

Sönümlenen ACF ve 2. gecikmede kesilen PACF özellikleri sadece

AR(2)

modeli ile uyumludur.

Key Concept

AR(p) modellerinde kısmi otokorelasyon fonksiyonunun (PACF) 'cut-off' (kesilme) özelliği

Practice More

ACF ve PACF grafiklerinin birlikte sönümlendiği durumlarda ARMA(p,q) modellerinin nasıl kimliklendirildiğini inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:1m 30s

Durağan Zaman Serisi Modelleri

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Alternative Method

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Answer

Step-by-Step Solution