Examkin

Question

Difficulty: MediumGüç Fonksiyonu ve Testin Gücü

Bir elektronik bileşenin ömrünün (XX), λ\lambda parametreli üstel dağılıma (f(x;λ)=λe−λx,x>0f(x; \lambda) = \lambda e^{-\lambda x}, x > 0) uygun olduğu bilinmektedir. λ\lambda parametresi hakkında kurulan H0:λ=1H_0: \lambda = 1 yokluk hipotezine karşılık H1:λ=2H_1: \lambda = 2 alternatif hipotezini test etmek amacıyla; rastgele seçilen bir bileşenin ömrünün 0,50,5 birimden kısa olması (x<0,5x < 0,5) durumunda H0H_0 hipotezinin reddedilmesine karar verilmiştir. Buna göre, bu testin gücü aşağıdakilerden hangisidir? (e−1≈0,37e^{-1} \approx 0,37 ve e−0,5≈0,61e^{-0,5} \approx 0,61 alınız.)

  1. 0,63Answer
  2. B
    0,39
  3. C
    0,37
  4. D
    0,61
  5. E
    0,40

Answer

Testin gücü, alternatif hipotez (λ=2\lambda = 2) altında hesaplanan 1−e−1=0,631 - e^{-1} = 0,63 değeridir.
Testin gücü, alternatif hipotez (H1:λ=2H_1: \lambda = 2) geçerliyken testin yokluk hipotezini (H0H_0) reddetme olasılığıdır. Yapılan integral hesabı sonucunda 1−e−11 - e^{-1} ifadesine ulaşılır ve verilen e−1≈0,37e^{-1} \approx 0,37 değeri yerine konulduğunda 0,630,63 sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Güç fonksiyonu tanımını belirle.
γ(λ)=P(X<0,5∣λ)\gamma(\lambda) = P(X < 0,5 | \lambda)
Testin gücü veya güç fonksiyonu, parametrenin verilen bir değeri için red bölgesine (X<0,5X < 0,5) düşme olasılığıdır.
2
Üstel dağılım için olasılık hesapla.
γ(λ)=∫00,5λe−λxdx=[−e−λx]00,5=1−e−0,5λ\gamma(\lambda) = \int_{0}^{0,5} \lambda e^{-\lambda x} dx = [-e^{-\lambda x}]_0^{0,5} = 1 - e^{-0,5\lambda}
Belirli integral kullanılarak birikimli dağılım fonksiyonu yardımıyla olasılık ifadesi genel formda elde edilir.
3
Alternatif hipotez değerini (λ=2\lambda = 2) yerine koyarak gücü hesapla.
γ(2)=1−e−0,5(2)=1−e−1\gamma(2) = 1 - e^{-0,5(2)} = 1 - e^{-1}
Testin gücü, H1H_1 hipotezinde belirtilen parametre değeri (λ=2\lambda = 2) için hesaplanmalıdır.
4
Sayısal değeri hesapla.
1−0,37=0,631 - 0,37 = 0,63
Verilen yaklaşıklık değeri kullanılarak nihai sonuca ulaşılır.

Key Concept

Güç Fonksiyonu ve Testin Gücü

Alternative Method

Üstel dağılımın birikimli dağılım fonksiyonu F(x)=1−e−λxF(x) = 1 - e^{-\lambda x} olduğu bilinirse, direkt F(0,5;λ=2)F(0,5; \lambda=2) hesaplanarak integrale gerek kalmadan sonuca ulaşılabilir.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Güç Fonksiyonu ve Testin Gücü

More questions from this topic