Examkin

Question

Difficulty: MediumKoşullu Olasılık

Bir İl Sağlık Müdürlüğü, içme suyu kalitesini izlemek amacıyla üç farklı ilçeden (X, Y ve Z) su numuneleri toplamaktadır. Toplanan numunelerin %20'si X ilçesinden, %50'si Y ilçesinden ve %30'u Z ilçesinden gelmektedir.

Yapılan laboratuvar analizleri sonucunda numunelerde mikrobiyolojik kirliliğe rastlanma olasılıkları X ilçesi için %5, Y ilçesi için %2 ve Z ilçesi için %10 olarak belirlenmiştir.

Rastgele seçilen bir su numunesinde mikrobiyolojik kirlilik tespit edildiği bilindiğine göre, bu numunenin Z ilçesinden gelmiş olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    3100\frac{3}{100}
  2. B
    120\frac{1}{20}
  3. C
    110\frac{1}{10}
  4. D
    310\frac{3}{10}
  5. 35\frac{3}{5}Answer

Answer

İlgili koşullu olasılık değeri 35\frac{3}{5}'tir.
Soruda, bir olayın gerçekleştiği bilindiğinde (kirlilik), bu olaya yol açan belirli bir sebebin (Z ilçesi) olasılığı sorulmaktadır. Bu durum Bayes teoreminin klasik bir uygulamasıdır. Önce toplam olasılık kuralı ile numunenin kirli olma ihtimali (0.050.05) hesaplanmış, ardından Z ilçesinin kirliliğe katkısı (0.030.03) bu toplam değere oranlanarak 35\frac{3}{5} sonucuna ulaşılmıştır.

Step-by-Step Solution

1
Olayları tanımlayıp verilen olasılık değerlerini matematiksel notasyona dökme.
P(X)=0.20P(X) = 0.20, P(Y)=0.50P(Y) = 0.50, P(Z)=0.30P(Z) = 0.30 ve kirlilik olayı (KK) için P(K∣X)=0.05P(K|X) = 0.05, P(K∣Y)=0.02P(K|Y) = 0.02, P(K∣Z)=0.10P(K|Z) = 0.10.
Bayes teoreminde kullanılacak olan marjinal ve koşullu olasılık bileşenlerini belirlemek.
2
Toplam olasılık kuralını kullanarak rastgele seçilen bir numunenin kirli çıkma olasılığını (P(K)P(K)) hesaplama.
P(K)=P(X)P(K∣X)+P(Y)P(K∣Y)+P(Z)P(K∣Z)=(0.20×0.05)+(0.50×0.02)+(0.30×0.10)=0.01+0.01+0.03=0.05P(K) = P(X)P(K|X) + P(Y)P(K|Y) + P(Z)P(K|Z) = (0.20 \times 0.05) + (0.50 \times 0.02) + (0.30 \times 0.10) = 0.01 + 0.01 + 0.03 = 0.05.
Koşullu olasılık formülündeki paydayı (tüm olası kirlilik durumlarının toplam olasılığını) bulmak.
3
Bayes formülünü uygulayarak kirli olduğu bilinen numunenin Z ilçesinden gelme koşullu olasılığını (P(Z∣K)P(Z|K)) hesaplama.
P(Z∣K)=P(Z∩K)P(K)=0.030.05=35P(Z|K) = \frac{P(Z \cap K)}{P(K)} = \frac{0.03}{0.05} = \frac{3}{5}.
Soruda istenen 'kirlilik şartı altında Z ilçesi olma' olasılığını nihai olarak elde etmek.

Key Concept

Bayes Teoremi ve Toplam Olasılık Kuralı
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Koşullu Olasılık

More questions from this topic