Bir enerji dağıtım şirketi, belirli bir bölgedeki günlük elektrik tüketimindeki dalgalanma… — KPSS İstatistik

Bir enerji dağıtım şirketi, belirli bir bölgedeki günlük elektrik tüketimindeki dalgalanmaları $X$ (megawatt cinsinden) rassal değişkeni ile izlemektedir. $\theta > 0$ bilinmeyen bir parametre olmak üzere, $X$ değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekildedir:

f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{5x^4}{\theta^5}, & 0 < x < \theta \\ 0, & \text{diğer durumlar} \end{cases}

Şirket, $\theta$ değerini tahmin etmek amacıyla bu kitleden $n$ birimlik bir rastgele örneklem seçmiş ve $\bar{X}$ örneklem ortalamasını bir tahmin edici olarak önermiştir. Buna göre, $\bar{X}$ tahmin edicisinin hata kareler ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?

A
$\frac{5\theta^2}{252n}$
$\frac{(7n+5)\theta^2}{252n}$ Answer
C
$\frac{(n+5)\theta^2}{252n}$
D
$\frac{(7n+1)\theta^2}{252n}$
E
$\frac{(5n+7)\theta^2}{252n}$

Answer

Tahmin edicinin hata kareler ortalaması

\frac{(7n+5)\theta^2}{252n}

olarak hesaplanır.

Tahmin edicinin beklenen değeri

5/6\theta

olup,

\theta

parametresi için yanlı bir tahmin edicidir. Hata kareler ortalaması, tahmin edicinin varyansı olan

5\theta^2/252n

ile yan miktarının karesi olan

\theta^2/36

değerlerinin toplanmasıyla elde edilen payda eşitlenmiş halidir.

Step-by-Step Solution

Kitlenin beklenen değerini hesaplayın.

E[X] = \int_{0}^{\theta} x \cdot \frac{5x^4}{\theta^5} dx = \frac{5}{\theta^5} [\frac{x^6}{6}]_0^{\theta} = \frac{5}{6}\theta

Tahmin edicinin yanlı olup olmadığını belirlemek ve varyans hesabında kullanmak için kitlenin ortalaması gereklidir.

Kitlenin varyansını hesaplayın.

E[X^2] = \int_{0}^{\theta} x^2 \cdot \frac{5x^4}{\theta^5} dx = \frac{5}{7}\theta^2

. Buradan

Var(X) = \frac{5}{7}\theta^2 - (\frac{5}{6}\theta)^2 = \frac{180-175}{252}\theta^2 = \frac{5}{252}\theta^2

Örneklem ortalamasının varyansını bulmak için kitlenin varyansına ihtiyaç vardır.

Tahmin edicinin beklenen değerini ve varyansını bulun.

E[\bar{X}] = E[X] = \frac{5}{6}\theta

Var(\bar{X}) = \frac{Var(X)}{n} = \frac{5\theta^2}{252n}

MSE formülündeki bileşenleri elde etmek için istatistiğin örnekleme dağılımı özellikleri kullanılır.

Yan (bias) miktarını hesaplayın.

Yan(\bar{X}) = E[\bar{X}] - \theta = \frac{5}{6}\theta - \theta = -\frac{1}{6}\theta

Tahmin edici parametreye eşit olmadığından MSE hesabına yan miktarının karesi eklenmelidir.

MSE formülünü uygulayın.

MSE(\bar{X}) = Var(\bar{X}) + [Yan(\bar{X})]^2 = \frac{5\theta^2}{252n} + (-\frac{1}{6}\theta)^2 = \frac{5\theta^2}{252n} + \frac{\theta^2}{36} = \frac{5\theta^2 + 7n\theta^2}{252n}

Hata kareler ortalaması, varyans ve yan miktarının karesinin toplamıdır.

Key Concept

Hata Kareler Ortalaması (MSE) Hesabı

Practice More

Tahmin edicinin katsayısı değiştirilerek yansız hale getirilmesi durumunda varyansın nasıl değişeceğini inceleyebilirsiniz.

Estimated Time:2m 30s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Topics

More questions from this topic