Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK) tarafından yapılan bir araştırmada, belirli bir kamu hizm… — KPSS İstatistik

Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK) tarafından yapılan bir araştırmada, belirli bir kamu hizmetinden yararlanan vatandaşların işlem süreleri (saat cinsinden) $X$ sürekli rastgele değişkeni ile modellenmiştir. $X$ değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x) = \begin{cases} 2(x-1) & , \ 1 < x < 2 \\ 0 & , \ \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Bu hizmet sürecini bilgisayar ortamında simüle etmek isteyen bir araştırmacı, olasılık integral dönüşümü (ters dönüşüm) yöntemini kullanacaktır. $U$ , $(0, 1)$ aralığında standart düzgün (üniform) dağılıma sahip bir rastgele değişken olmak üzere, $X$ değişkenini üretmek için kullanılacak ters dönüşüm fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

A
$\frac{U+2}{2}$
B
$1 - \sqrt{U}$
$1 + \sqrt{U}$ Answer
D
$1 + \sqrt{U+1}$
E
$U^2 + 1$

Answer

Doğru simülasyon fonksiyonu

1 + \sqrt{U}

olmalıdır.

Ters dönüşüm yönteminde temel prensip,

U \sim Uniform(0,1)

olmak üzere

U = F(X)

eşitliğini

X

cinsinden çözmektir. Olasılık yoğunluk fonksiyonu

2(x-1)

olan değişkenin

(1, x)

aralığındaki belirli integrali

F(x) = (x-1)^2

sonucunu verir.

U = (X-1)^2

denkleminden

X

'in

(1, 2)

aralığında tanımlı olduğu göz önünde bulundurularak pozitif kök seçildiğinde

X = 1 + \sqrt{U}

üreteç fonksiyonu elde edilir.

Step-by-Step Solution

Olasılık yoğunluk fonksiyonunun (PDF) integralini alarak birikimli dağılım fonksiyonunu (CDF) elde et.

F(x) = \int_{1}^{x} 2(t-1) dt = (t^2 - 2t) \Big|_1^x = (x^2 - 2x) - (1 - 2) = (x-1)^2

Olasılık integral dönüşümü kuralına göre,

F(X)

rastgele değişkeni

(0,1)

aralığında düzgün dağılıma sahiptir ve simülasyon için

X

'i bulmak adına CDF formülüne ihtiyaç vardır.

Elde edilen CDF'i

U

'ya eşitle ve

X

için denklemi çöz.

(X-1)^2 = U \implies X-1 = \pm\sqrt{U}

Ters dönüşüm (inverse transform) yönteminde,

U = F(X)

eşitliğinden yararlanılarak hedef rastgele değişken

X = F^{-1}(U)

şeklinde yalnız bırakılır.

X

'in tanım aralığını dikkate alarak uygun kökü seç.

X \in (1, 2)

olduğundan

X-1 > 0

olmalıdır. Bu nedenle pozitif kök alınarak

X = 1 + \sqrt{U}

bulunur.

Rastgele değişkenin tanımlı olduğu aralık olan

(1, 2)

sınırları dışına çıkmamak için denklemin matematiksel olarak doğru kökünün seçilmesi gerekir.

Key Concept

Olasılık İntegral Dönüşümü (Ters Dönüşüm Yöntemi)

Estimated Time:1m 30s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic