Examkin

Question

Difficulty: HardHareketli Ortalama Modelleri (MA)

Türkiye İstatistik Kurumu'nda (TÜİK) çalışan bir uzman, belirli bir perakende satış endeksinin durağanlaştırılmış serisini analiz etmektedir. Uzman, serinin otokorelasyon fonksiyonunun (ACF) 1. ve 2. gecikmelerde istatistiksel olarak anlamlı değerler alıp 3. gecikmeden itibaren hızla sıfıra düştüğünü (kesildiğini); kısmi otokorelasyon fonksiyonunun (PACF) ise dalgalı bir şekilde sönümlendiğini tespit etmiştir.

Buna göre uzman, süreci Yt=μ+εt−θ1εt−1−θ2εt−2Y_t = \mu + \varepsilon_t - \theta_1 \varepsilon_{t-1} - \theta_2 \varepsilon_{t-2} modeli ile tanımlamıştır. (εt∼WN(0,σ2)\varepsilon_t \sim WN(0, \sigma^2))

Bu veri üretim süreci ve özellikleri dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

  1. Bu sürecin durağan olabilmesi için parametrelerin θ1+θ2<1\theta_1 + \theta_2 < 1, θ2−θ1<1\theta_2 - \theta_1 < 1 ve ∣θ2∣<1|\theta_2| < 1 eşitsizliklerini eşanlı olarak sağlaması zorunludur.Answer
  2. B
    Seriye ait karakteristik denklemin (1−θ1B−θ2B2=01 - \theta_1 B - \theta_2 B^2 = 0) kökleri birim çemberin dışında kalıyorsa, bu model geçmiş gözlemlerin sonsuz bir toplamı şeklinde ifade edilebilir.
  3. C
    ACF grafiğinin ikinci gecikmeden sonra istatistiksel olarak sıfıra eşitlenmesi ve PACF'nin sönümlenmesi, sürecin hareketli ortalamalar karakteristiği gösterdiğini kanıtlar.
  4. D
    Modelin varyansı, zaman değişkenine (tt) bağlı olmaksızın her dönemde sabit kalır ve değeri γ0=σ2(1+θ12+θ22)\gamma_0 = \sigma^2 (1 + \theta_1^2 + \theta_2^2) şeklinde hesaplanır.
  5. E
    Sürecin birinci gecikmeli otokovaryans değeri γ1=−σ2θ1(1−θ2)\gamma_1 = -\sigma^2 \theta_1(1 - \theta_2) olarak bulunurken, ikiden büyük gecikmeler için tüm otokovaryans değerleri sıfırdır.

Answer

Durağanlık için parametre kısıtlarının zorunlu olduğunu iddia eden ifade yanlıştır; çünkü bu kısıtlar durağanlık için değil, tersinirlik (invertibility) içindir ve MA modelleri her durumda durağandır.
Hareketli ortalama (MA) modelleri, sınırlı sayıda rassal hata teriminin (qq adet) doğrusal birleşimidir. Hata terimleri beyaz gürültü serisi olduğu için MA modelleri, katsayıları hangi değerde olursa olsun zayıf durağanlık varsayımlarını (sabit ortalama, sabit varyans ve sadece gecikmeye bağlı otokovaryans) her zaman sağlar. Seçenekte verilen θ1+θ2<1\theta_1 + \theta_2 < 1, θ2−θ1<1\theta_2 - \theta_1 < 1 ve ∣θ2∣<1|\theta_2| < 1 koşulları ise modelin 'durağanlık' değil 'tersinirlik (invertibility)' koşullarıdır. Bu nedenle bu kısıtların durağanlık için zorunlu olduğunu belirten ifade kesinlikle yanlıştır.

Step-by-Step Solution

1
Serinin ACF ve PACF davranışlarından modelin türünü ve derecesini belirleme.
2. gecikmeden sonra kesilen ACF ve dalgalı sönümlenen PACF davranışları, serinin 2. dereceden bir hareketli ortalama, MA(2), süreci olduğunu teyit eder.
MA modellerinde otokorelasyon yapısı model derecesini (q) ACF üzerinden net bir kesilme ile gösterir.
2
MA(2) süreci için durağanlık ve tersinirlik (invertibility) teorik koşullarını değerlendirme.
Hareketli ortalama (MA) modelleri, sınırlı sayıda beyaz gürültü hata teriminin doğrusal toplamı oldukları için zaman serisi parametreleri ne olursa olsun zayıf durağanlık varsayımlarını (sabit ortalama, sabit varyans) her zaman sağlarlar.
Durağanlık için MA modellerinde bir parametre kısıtlamasına ihtiyaç yoktur.
3
Verilen eşitsizliklerin (θ1+θ2<1\theta_1 + \theta_2 < 1, θ2−θ1<1\theta_2 - \theta_1 < 1, ∣θ2∣<1|\theta_2| < 1) gerçek işlevini analiz etme.
Bu eşitsizlikler, karakteristik denklemin köklerinin birim çemberin dışında kalmasını sağlayan tersinirlik koşullarıdır.
Modeli sonsuz dereceli bir AR sürecine çevirebilmek (geçmiş gözlemlerle ifade edebilmek) için gereklidir.
4
Seçeneklerdeki ifadelerin doğruluğunu tek tek kontrol ederek yanlış olanı tespit etme.
Varyans ve otokovaryans hesaplamaları, grafiksel teşhis ve tersinirlik tanımı içeren ifadeler doğru iken, tersinirlik koşullarını durağanlık şartı olarak sunan ifade yanlıştır.
Soru bizden yanlış olan ifadeyi bulmamızı istemektedir.

Key Concept

Hareketli Ortalama (MA) modellerinde durağanlık ve tersinirlik koşullarının birbirinden ayırt edilmesi.
Rate this question

Topics

Hareketli Ortalama Modelleri (MA)

More questions from this topic