Examkin

Question

Difficulty: MediumSürekli Zamanlı Markov Süreçleri ve Doğum-Ölüm Süreçleri

Bir devlet hastanesinin acil servisindeki hasta kabul biriminin yoğunluk seviyesi, durum uzayı S={1,2,3}S = \{1, 2, 3\} olan sürekli zamanlı bir Markov süreci olarak modellenmektedir (1: Düşük, 2: Orta, 3: Yüksek yoğunluk). Bu sürece ait birim saat cinsinden geçiş oranlarını gösteren infinitezimal üreteç (jeneratör) matrisi QQ aşağıda verilmiştir:

Q=(−4405−7203−3) Q = \begin{pmatrix} -4 & 4 & 0 \\ 5 & -7 & 2 \\ 0 & 3 & -3 \end{pmatrix}

Buna göre, acil servisin uzun dönemde (kararlı durumda) "Orta" (Durum 2) yoğunluk seviyesinde bulunma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    1223\frac{12}{23}
  2. B
    00
  3. 1235\frac{12}{35}Answer
  4. D
    12\frac{1}{2}
  5. E
    37\frac{3}{7}

Answer

Uzun dönemde sistemin Durum 2'de bulunma olasılığı 1235\frac{12}{35}'tir.
Sürekli zamanlı bir Markov zincirinde kararlı durum olasılık vektörü π=[π1,π2,π3]\pi = [\pi_1, \pi_2, \pi_3], πQ=0\pi Q = 0 sistemini sağlar. Bu çarpımdan sırasıyla −4π1+5π2=0-4\pi_1 + 5\pi_2 = 0 (bu da π1=1.25π2\pi_1 = 1.25\pi_2 demektir) ve 2π2−3π3=02\pi_2 - 3\pi_3 = 0 (bu da π3=(2/3)π2\pi_3 = (2/3)\pi_2 demektir) eşitlikleri bulunur. Sistemin tüm olasılıkları toplamı 1 olacağından; 54π2+1π2+23π2=1\frac{5}{4}\pi_2 + 1\pi_2 + \frac{2}{3}\pi_2 = 1 denklemi yazılır. Ortak payda (12) kullanılarak toplandığında 3512π2=1\frac{35}{12}\pi_2 = 1 elde edilir. Buradan Durum 2'nin uzun dönem olasılığı olan π2\pi_2, 1235\frac{12}{35} olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Kararlı durum (steady-state) denklemlerini (πQ=0\pi Q = 0) kurmak.
−4π1+5π2=0-4\pi_1 + 5\pi_2 = 0 ve 2π2−3π3=02\pi_2 - 3\pi_3 = 0 dengeleri elde edilir.
Sürekli zamanlı Markov süreçlerinde uzun dönem olasılıkları, olasılık vektörü ile üreteç matrisinin çarpımının sıfıra eşitlenmesiyle bulunur.
2
Tüm durum olasılıklarını π2\pi_2 cinsinden ifade etmek.
π1=54π2\pi_1 = \frac{5}{4}\pi_2 ve π3=23π2\pi_3 = \frac{2}{3}\pi_2 olarak yazılır.
Olasılıkları tek bir bilinmeyene indirgeyerek toplam kuralını kolayca uygulayabilmek için bu işlem yapılır.
3
Olasılıkların toplamının 1'e eşit olması kuralını (π1+π2+π3=1\pi_1 + \pi_2 + \pi_3 = 1) uygulamak.
54π2+π2+23π2=1  ⟹  (1512+1212+812)π2=1  ⟹  3512π2=1\frac{5}{4}\pi_2 + \pi_2 + \frac{2}{3}\pi_2 = 1 \implies \left(\frac{15}{12} + \frac{12}{12} + \frac{8}{12}\right)\pi_2 = 1 \implies \frac{35}{12}\pi_2 = 1.
Sistemin herhangi bir anda mutlaka durum uzayındaki konumlardan birinde bulunması gerektiğinden, olasılıklar toplamı daima 1'dir.
4
Denklemi çözerek π2\pi_2 değerini yalnız bırakmak.
π2=1235\pi_2 = \frac{12}{35} sonucu elde edilir.
Kararlı durumda 'Orta' yoğunluk seviyesinin olasılığı doğrudan π2\pi_2 değişkenine eşittir.

Key Concept

Sürekli Zamanlı Markov Zincirlerinde Kararlı Durum (Steady-State) Olasılıkları
Rate this question

Topics

Sürekli Zamanlı Markov Süreçleri ve Doğum-Ölüm Süreçleri

More questions from this topic