Examkin

Question

Difficulty: EasyYansızlık (Unbiasedness) ve Yan Miktarı

Beklenen değeri λ\lambda olan Poisson dağılımına sahip bir kitleden nn birimlik X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n rastgele örneklemi çekilmiştir. λ\lambda parametresi için λ^=Xˉ+1n\hat{\lambda} = \bar{X} + \frac{1}{n} şeklinde bir tahmin edici tanımlanmıştır. Buna göre, bu tahmin edicinin yan (bias) miktarı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    00
  2. 1n\frac{1}{n}Answer
  3. C
    −1n-\frac{1}{n}
  4. D
    1n−1\frac{1}{n-1}
  5. E
    λn\frac{\lambda}{n}

Answer

Tahmin edicinin yan miktarı 1/n1/n olarak hesaplanır.
Tahmin edicinin beklenen değeri hesaplandığında E[λ^]=E[Xˉ]+1/n=λ+1/nE[\hat{\lambda}] = E[\bar{X}] + 1/n = \lambda + 1/n sonucu elde edilir. Yan miktarı tanımı gereği B(λ^)=E[λ^]−λB(\hat{\lambda}) = E[\hat{\lambda}] - \lambda olduğundan, λ+1/n−λ=1/n\lambda + 1/n - \lambda = 1/n değeri doğru yan miktarıdır.

Step-by-Step Solution

1
Tahmin edicinin beklenen değerini hesaplayın.
E[λ^]=E[Xˉ+1n]=E[Xˉ]+E[1n]E[\hat{\lambda}] = E[\bar{X} + \frac{1}{n}] = E[\bar{X}] + E[\frac{1}{n}]
Beklenen değer operatörünün lineerlik özelliği kullanılarak toplama işlemi ayrıştırılır.
2
Örneklem ortalamasının beklenen değerini yerine koyun.
E[Xˉ]=λE[\bar{X}] = \lambda
Herhangi bir dağılımda örneklem ortalamasının beklenen değeri kitle ortalamasına eşittir.
3
Tahmin edicinin tam beklenen değerini bulun.
E[λ^]=λ+1nE[\hat{\lambda}] = \lambda + \frac{1}{n}
Sabit bir sayının beklenen değeri kendisine eşit olduğundan Xˉ\bar{X}'in beklenen değerine 1/n1/n eklenir.
4
Yan (bias) miktarını hesaplayın.
B(λ^)=E[λ^]−λ=(λ+1n)−λ=1nB(\hat{\lambda}) = E[\hat{\lambda}] - \lambda = (\lambda + \frac{1}{n}) - \lambda = \frac{1}{n}
Yan miktarı, tahmin edicinin beklenen değeri ile tahmin edilmek istenen gerçek parametre değeri arasındaki farktır.

Key Concept

Yan (bias) miktarı, bir tahmin edicinin beklenen değerinin hedef parametreden ne kadar saptığını ölçer.

Practice More

Eğer tahmin edici λ^=nn+1Xˉ\hat{\lambda} = \frac{n}{n+1}\bar{X} şeklinde tanımlansaydı yan miktarının nasıl değişeceğini hesaplayarak çarpımsal yan durumunu pekiştirebilirsiniz.
Estimated Time:45s
Rate this question

Topics

Yansızlık (Unbiasedness) ve Yan Miktarı

More questions from this topic