Examkin

Question

Difficulty: MediumYansızlık (Unbiasedness) ve Yan Miktarı

Bir ilçedeki marketlerin günlük müşteri yoğunluğunun [0,θ][0, \theta] aralığında sürekli düzgün (üniform) dağılım gösterdiği bilinmektedir. Bu kitleden alınan nn birimlik bir rastgele örneklem için örneklem ortalaması Xˉ\bar{X} ve en büyük sıra istatistiği X(n)X_{(n)} olarak tanımlanmıştır. θ\theta parametresini tahmin etmek amacıyla aşağıdaki tahmin edici önerilmiştir:

T=Xˉ+12X(n)T = \bar{X} + \frac{1}{2} X_{(n)}

Buna göre, TT tahmin edicisinin θ\theta parametresi için yan (bias) miktarı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. −θ2n+2-\frac{\theta}{2n+2}Answer
  2. B
    θ2n+2\frac{\theta}{2n+2}
  3. C
    −θn+1-\frac{\theta}{n+1}
  4. D
    00
  5. E
    −θ2-\frac{\theta}{2}

Answer

Tahmin edicinin yan miktarı −θ2n+2-\frac{\theta}{2n+2} olarak hesaplanır.
Tahmin edicinin beklenen değeri hesaplandığında E[T]=2n+12n+2θE[T] = \frac{2n+1}{2n+2}\theta elde edilir. Bu değer kitle parametresi olan θ\theta değerinden küçük olduğu için negatif bir yan oluşur ve aradaki fark −θ2n+2-\frac{\theta}{2n+2} olur.

Step-by-Step Solution

1
Örneklem istatistiklerinin beklenen değerlerini belirleyin.
E[Xˉ]=θ2E[\bar{X}] = \frac{\theta}{2} ve E[X(n)]=nn+1θE[X_{(n)}] = \frac{n}{n+1}\theta
[0,θ][0, \theta] aralığındaki düzgün dağılımın ortalaması θ/2\theta/2'dir ve en büyük sıra istatistiğinin beklenen değeri standart bir sonuçtur.
2
Tahmin edicinin beklenen değerini hesaplayın.
E[T]=E[Xˉ+12X(n)]=θ2+nθ2(n+1)E[T] = E[\bar{X} + \frac{1}{2}X_{(n)}] = \frac{\theta}{2} + \frac{n\theta}{2(n+1)}
Beklenen değer operatörünün lineerlik özelliği kullanılarak terimlerin beklenen değerleri toplanır.
3
Payda eşitleyerek ifadeyi sadeleştirin.
E[T]=θ(n+1)+nθ2(n+1)=2n+12n+2θE[T] = \frac{\theta(n+1) + n\theta}{2(n+1)} = \frac{2n+1}{2n+2}\theta
Matematiksel işlemleri kolaylaştırmak için ortak payda kullanılır.
4
Yan (bias) miktarı formülünü uygulayın.
B(T)=E[T]−θ=2n+12n+2θ−θ=2n+1−(2n+2)2n+2θ=−θ2n+2B(T) = E[T] - \theta = \frac{2n+1}{2n+2}\theta - \theta = \frac{2n+1 - (2n+2)}{2n+2}\theta = -\frac{\theta}{2n+2}
Yan miktarı, tahmin edicinin beklenen değeri ile gerçek parametre değeri arasındaki farktır.

Key Concept

Yan (Bias) miktarı, bir tahmin edicinin beklenen değerinin tahmin edilmeye çalışılan parametreden sapmasıdır (B(θ^)=E[θ^]−θB(\hat{\theta}) = E[\hat{\theta}] - \theta).
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Yansızlık (Unbiasedness) ve Yan Miktarı

More questions from this topic