Bir çağrı merkezine belirli bir saat diliminde gelen çağrı sayısı, \lambda parametreli Poi… — KPSS İstatistik

Bir çağrı merkezine belirli bir saat diliminde gelen çağrı sayısı, $\lambda$ parametreli Poisson dağılımına sahiptir. Bu süreçten $n$ çaplı bağımsız bir rastgele örneklem ( $X_1, X_2, \dots, X_n$ ) alınmıştır.

$\lambda^2$ parametresini tahmin etmek amacıyla $\hat{\theta} = \bar{X}^2$ tahmin edicisi önerilmiştir.

Buna göre, bu tahmin edicinin yan miktarı (bias) aşağıdakilerden hangisidir?

A
0
B
$-\frac{\lambda}{n}$
$\frac{\lambda}{n}$ Answer
D
$\frac{\lambda^2}{n}$
E
$\frac{\lambda}{n^2}$

Answer

Önerilen tahmin edicinin yan miktarı

\frac{\lambda}{n}

olarak bulunmuştur.

Yan miktarı, tahmin edicinin beklenen değeri ile gerçek parametre değeri arasındaki farktır.

\bar{X}^2

'nin beklenen değeri, örneklem ortalamasının varyansı ile kendi beklenen değerinin karesinin toplamına eşittir (

E[\bar{X}^2] = Var(\bar{X}) + (E[\bar{X}])^2

). Poisson dağılımı için bu değer

\frac{\lambda}{n} + \lambda^2

olur. Formülden

\lambda^2

çıkarıldığında, geriye yan miktarı olan

\frac{\lambda}{n}

kalır.

Step-by-Step Solution

Yan miktarı (bias) formülünü problemdeki değişkenlere göre tanımlayın.

B(\hat{\theta}) = E[\hat{\theta}] - \theta \implies B(\bar{X}^2) = E[\bar{X}^2] - \lambda^2

Bir tahmin edicinin yan miktarını bulmak için tahmin edicinin beklenen değerinden tahmin edilmek istenen gerçek parametre değeri çıkarılmalıdır.

Poisson dağılımının özelliklerini kullanarak örneklem ortalamasının beklenen değerini ve varyansını belirleyin.

E[X_i] = \lambda

Var(X_i) = \lambda

olduğundan,

E[\bar{X}] = \lambda

Var(\bar{X}) = \frac{\lambda}{n}

elde edilir.

\bar{X}^2

tahmin edicisinin beklenen değerini doğrudan hesaplayamayacağımız için, ortalamanın bilinen temel istatistiksel özelliklerine ihtiyaç duyarız.

Varyans ve beklenen değer arasındaki temel ilişkiyi kullanarak

E[\bar{X}^2]

ifadesini hesaplayın.

Var(\bar{X}) = E[\bar{X}^2] - (E[\bar{X}])^2 \implies E[\bar{X}^2] = \frac{\lambda}{n} + \lambda^2

Karesel bir tahmin edicinin beklenen değeri, varyans formülü üzerinden çekilerek matematiksel olarak hatasız şekilde bulunur.

Bulunan beklenen değeri ilk adımdaki yan miktarı formülünde yerine koyarak sonuca ulaşın.

B(\bar{X}^2) = \left( \frac{\lambda}{n} + \lambda^2 \right) - \lambda^2 = \frac{\lambda}{n}

Tahmin edicinin parametreden ne kadar saptığını veren nihai yan miktarını elde etmek için son çıkarma işlemi uygulanır.

Key Concept

Örneklem Ortalamasının Karesinin Beklenen Değeri ve Yan Miktarı Formülasyonu

Alternative Method

E[\bar{X}^2]

değeri toplam sembolü özellikleri kullanılarak da doğrudan açılabilir:

E[(\frac{1}{n}\sum X_i)^2] = \frac{1}{n^2} \left( \sum E[X_i^2] + \sum_{i \neq j} E[X_i]E[X_j] \right)

. Bu formüle Poisson özelliklerini uygulayarak da aynı sonuca ulaşmak mümkündür, fakat varyans denkliği her zaman daha az hata riski taşır.

Estimated Time:2m 0s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Topics

More questions from this topic