Examkin

Question

Difficulty: EasyOlasılık İntegral Dönüşümü

Sürekli bir XX rastgele değişkeninin birikimli dağılım fonksiyonu F(x)F(x) ile gösterilmektedir. Olasılık integral dönüşümü (probability integral transform) teoremine göre, Y=F(X)Y = F(X) olarak tanımlanan yeni rastgele değişkenin dağılımı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    Standart Normal Dağılım
  2. (0,1)(0, 1) aralığında Sürekli Düzgün DağılımAnswer
  3. C
    Parametresi λ=1\lambda=1 olan Üstel Dağılım
  4. D
    (0,1)(0, 1) aralığında Kesikli Düzgün Dağılım
  5. E
    (−1,1)(-1, 1) aralığında Sürekli Düzgün Dağılım

Answer

(0,1)(0, 1) aralığında Sürekli Düzgün Dağılım
Olasılık integral dönüşümü teoremine göre, herhangi bir sürekli rastgele değişkenin kendi birikimli dağılım fonksiyonu (FF) altındaki dönüşümü, parametrelerinden bağımsız olarak her zaman Standart Düzgün Dağılım (U(0,1)U(0, 1)) verir. Bunun nedeni, P(F(X)≤y)P(F(X) \leq y) olasılığının doğrudan yy değerine eşit çıkmasıdır.

Step-by-Step Solution

1
Y=F(X)Y = F(X) rastgele değişkeninin birikimli dağılım fonksiyonunu (G(y)G(y)) tanımlayın.
G(y)=P(Y≤y)=P(F(X)≤y)G(y) = P(Y \leq y) = P(F(X) \leq y)
Bir rastgele değişkenin dağılımını belirlemenin en temel yolu onun birikimli dağılım fonksiyonunu bulmaktır.
2
F(x)F(x) fonksiyonunun tersini alarak eşitsizliği XX cinsinden ifade edin.
P(X≤F−1(y))P(X \leq F^{-1}(y)) ve bu ifade F(F−1(y))F(F^{-1}(y)) değerine eşittir.
Olasılık integral dönüşümünde F(x)F(x) monoton artan bir fonksiyon olduğu için tersi mevcuttur ve eşitsizliğin yönü değişmez.
3
Elde edilen birikimli dağılım değerini hesaplayın ve sonucu yorumlayın.
G(y)=yG(y) = y (burada 0<y<10 < y < 1)
G(y)=yG(y) = y fonksiyonu, (0,1)(0, 1) aralığındaki Sürekli Düzgün Dağılımın birikimli dağılım fonksiyonudur.

Key Concept

Olasılık İntegral Dönüşümü (Probability Integral Transform)

Hints

1
Birikimli dağılım fonksiyonu F(x)F(x)'in alabileceği değer aralığını düşünün.
2
Y=F(X)Y = F(X) ise P(Y≤y)P(Y \leq y) olasılığını P(X≤F−1(y))P(X \leq F^{-1}(y)) şeklinde yazmayı deneyin.

Practice More

Bu teoremin tersi olan 'Ters Dönüşüm Yöntemi'nin (Inverse Transform Sampling) simülasyonlarda nasıl kullanıldığını inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Teoremi doğrudan hatırlamak en hızlı yoldur: Bir sürekli değişken kendi CDF'si ile dönüştürülürse sonuç her zaman U(0,1)U(0,1) olur.
Estimated Time:45s
Rate this question

Topics

Olasılık İntegral Dönüşümü

More questions from this topic