Başarı olasılığı p olan bir Bernoulli dağılımından n birimlik X_1, X_2, \dots, X_n rastgel… — KPSS İstatistik

Başarı olasılığı $p$ olan bir Bernoulli dağılımından $n$ birimlik $X_1, X_2, \dots, X_n$ rastgele örneklemi çekilmiştir. $p$ parametresini tahmin etmek amacıyla önerilen $\hat{p} = \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i + 1}{n+2}$ tahmin edicisinin yan (bias) miktarı aşağıdakilerden hangisidir?

$\frac{1 - 2p}{n+2}$ Answer
B
$\frac{1 - p}{n+2}$
C
$0$
D
$\frac{np + 1}{n+2}$
E
$\frac{1}{n+2}$

Answer

Tahmin edicinin yan miktarı

\frac{1 - 2p}{n+2}

olarak hesaplanır.

Doğru cevap olan ifade, tahmin edicinin beklenen değerinden kitlenin gerçek parametresi olan

p

çıkarıldığında elde edilen net farktır. Bernoulli dağılımında toplamın beklenen değeri

np

olduğu için, önerilen istatistiğin ortalaması

\frac{np+1}{n+2}

olur ve buradan

p

çıkarıldığında sonuç elde edilir.

Step-by-Step Solution

Tahmin edicinin beklenen değerini hesaplayın.

E[\hat{p}] = E\left[\frac{\sum X_i + 1}{n+2}\right] = \frac{E[\sum X_i] + 1}{n+2} = \frac{np + 1}{n+2}

Beklenen değerin lineerlik özelliği ve Bernoulli dağılımında

E[X_i] = p

olması.

Yan (bias) formülünü uygulayın.

B(\hat{p}) = E[\hat{p}] - p

Yan miktarı, bir tahmin edicinin beklenen değeri ile gerçek parametre değeri arasındaki farktır.

İşlemi sadeleştirin.

\frac{np + 1}{n+2} - p = \frac{np + 1 - p(n+2)}{n+2} = \frac{np + 1 - np - 2p}{n+2} = \frac{1 - 2p}{n+2}

Ortak paydada buluşturarak aritmetik sadeleştirme yapılması.

Key Concept

Yan (Bias) Hesaplaması

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic