Bir bulut depolama sisteminde, kullanıcıların yüklediği büyük boyutlu dosyaların boyutu (G… — KPSS İstatistik

Bir bulut depolama sisteminde, kullanıcıların yüklediği büyük boyutlu dosyaların boyutu (GB cinsinden) $X$ rassal değişkeni ile modellenmektedir. $X$ 'in olasılık yoğunluk fonksiyonu, $\theta > 0$ bilinmeyen bir parametre olmak üzere aşağıdaki gibi verilmiştir:

f(x;\theta) = \begin{cases} \frac{3\theta^3}{x^4}, & x > \theta \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Bu dağılımdan çekilen $n$ çaplı bağımsız bir rastgele örneklem $X_1, X_2, \dots, X_n$ olsun. Sistem analisti, bilinmeyen $\theta$ parametresini tahmin etmek için örneklem ortalaması $T = \bar{X}$ tahmin edicisini önermiştir.

Buna göre, $T$ tahmin edicisinin $\theta$ parametresi için Hata Kareler Ortalaması (MSE) aşağıdakilerden hangisidir?

$\frac{(n+3)\theta^2}{4n}$ Answer
B
$\frac{3\theta^2}{4n}$
C
$\frac{(9n+3)\theta^2}{4n}$
D
$\theta^2$
E
$\frac{(3-n)\theta^2}{4n}$

Answer

Hata Kareler Ortalaması (MSE),

\frac{(n+3)\theta^2}{4n}

değerine eşittir.

Hata Kareler Ortalaması (MSE), tahmin edicinin varyansı ile yan miktarının karesinin toplamına eşittir. Örneklem ortalamasının beklenen değeri

E[\bar{X}] = \frac{3\theta}{2}

hesaplandığından tahmin edici yanlıdır ve yan miktarı

\frac{3\theta}{2} - \theta = \frac{\theta}{2}

olur. Örneklem ortalamasının varyansı ise kitle varyansının

n

'e bölümü ile

Var(\bar{X}) = \frac{3\theta^2}{4n}

olarak bulunur. Bu iki değer

MSE = Var + Yan^2

formülünde yerine konulduğunda

\frac{3\theta^2}{4n} + \frac{\theta^2}{4} = \frac{(n+3)\theta^2}{4n}

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

X

rassal değişkeninin beklenen değerini (

E[X]

) hesaplama.

E[X] = \int_{\theta}^{\infty} x \frac{3\theta^3}{x^4} dx = 3\theta^3 \int_{\theta}^{\infty} x^{-3} dx = 3\theta^3 \left[ \frac{x^{-2}}{-2} \right]_{\theta}^{\infty} = \frac{3\theta}{2}

Tahmin edici olan örneklem ortalamasının beklenen değerini bulmak için kitle ortalamasına ihtiyaç vardır.

X

rassal değişkeninin varyansını (

Var(X)

) hesaplama.

E[X^2] = \int_{\theta}^{\infty} x^2 \frac{3\theta^3}{x^4} dx = 3\theta^2

. Buradan

Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = 3\theta^2 - \left(\frac{3\theta}{2}\right)^2 = \frac{3\theta^2}{4}

Örneklem ortalamasının varyansını bulabilmek için kitle varyansı bilinmelidir.

T = \bar{X}

tahmin edicisinin beklenen değerini ve varyansını belirleme.

E[\bar{X}] = E[X] = \frac{3\theta}{2}

Var(\bar{X}) = \frac{Var(X)}{n} = \frac{3\theta^2}{4n}

MSE hesaplamasında kullanılacak olan tahmin ediciye ait istatistiksel özelliklerin türetilmesi gerekir.

Tahmin edicinin yan miktarını (

Yan(\hat{\theta})

) hesaplama.

Yan(\bar{X}) = E[\bar{X}] - \theta = \frac{3\theta}{2} - \theta = \frac{\theta}{2}

Tahmin edici yansız olmadığından (

E[\bar{X}] \neq \theta

), formüle eklenecek sapma (yan) miktarı bulunmalıdır.

Hata Kareler Ortalamasını (MSE) formül üzerinden elde etme.

MSE(\bar{X}) = Var(\bar{X}) + (Yan(\bar{X}))^2 = \frac{3\theta^2}{4n} + \left(\frac{\theta}{2}\right)^2 = \frac{3\theta^2}{4n} + \frac{n\theta^2}{4n} = \frac{(n+3)\theta^2}{4n}

Bir tahmin edicinin Hata Kareler Ortalaması, varyansı ile yan miktarının karesinin toplamına eşittir.

Key Concept

Tahmin edicilerde MSE (Hata Kareler Ortalaması) hesaplaması:

MSE(\hat{\theta}) = Var(\hat{\theta}) + [Yan(\hat{\theta})]^2

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic