Examkin

Question

Difficulty: EasySürekli Zamanlı Markov Süreçleri ve Doğum-Ölüm Süreçleri

Bir kamu kütüphanesindeki dijital arşivleme tarayıcısının çalışma durumu, durum uzayı S={0,1}S = \{0, 1\} olan sürekli zamanlı bir Markov süreci olarak modellenmiştir. Durum 0 tarayıcının "çalışır" durumda olduğunu, durum 1 ise "arızalı" olduğunu temsil etmektedir. Bu sürece ait sonsuz küçük üreteç matrisi (QQ-matrisi) aşağıda verilmiştir:

Q=(−0,150,150,35−0,35)Q = \begin{pmatrix} -0,15 & 0,15 \\ 0,35 & -0,35 \end{pmatrix}

Buna göre, bu tarayıcının uzun dönemde (kararlı durumda) arızalı olma olasılığı kaçtır?

  1. A
    0,15
  2. 0,30Answer
  3. C
    0,35
  4. D
    0,45
  5. E
    0,70

Answer

Tarayıcının uzun dönemde arızalı olma olasılığı 0,30'dur.
Verilen QQ-matrisine göre, durum 0'dan 1'e geçiş hızı λ=0,15\lambda = 0,15 ve durum 1'den 0'a geçiş hızı μ=0,35\mu = 0,35'dir. İki durumlu bir sürekli zamanlı Markov sürecinde, kararlı durumda ikinci durumda (arızalı) bulunma olasılığı π1=λλ+μ\pi_1 = \frac{\lambda}{\lambda + \mu} formülüyle hesaplanabilir. Buradan π1=0,150,15+0,35=0,150,50=0,30\pi_1 = \frac{0,15}{0,15 + 0,35} = \frac{0,15}{0,50} = 0,30 sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Kararlı durum olasılıkları (π0,π1\pi_0, \pi_1) için denge denklemlerini (πQ=0\pi Q = 0) yazın.
−0,15π0+0,35π1=0-0,15\pi_0 + 0,35\pi_1 = 0
Kararlı durumda, bir duruma giriş hızı o durumdan çıkış hızına eşit olmalıdır.
2
Denge denklemini sadeleştirerek değişkenler arasındaki ilişkiyi belirleyin.
0,15π0=0,35π1⇒15π0=35π1⇒3π0=7π1⇒π0=73π10,15\pi_0 = 0,35\pi_1 \Rightarrow 15\pi_0 = 35\pi_1 \Rightarrow 3\pi_0 = 7\pi_1 \Rightarrow \pi_0 = \frac{7}{3}\pi_1
Olasılıklar arasındaki doğrusal ilişkiyi kurmak için gereklidir.
3
Normalizasyon koşulunu (∑πi=1\sum \pi_i = 1) uygulayın.
π0+π1=1⇒73π1+π1=1⇒103π1=1\pi_0 + \pi_1 = 1 \Rightarrow \frac{7}{3}\pi_1 + \pi_1 = 1 \Rightarrow \frac{10}{3}\pi_1 = 1
Bir sistemdeki tüm olası durumların olasılıkları toplamı her zaman 1 olmalıdır.
4
Arızalı durum olasılığını (π1\pi_1) hesaplayın.
π1=310=0,30\pi_1 = \frac{3}{10} = 0,30
Denklemin çözülmesi sonucunda hedef olasılığa ulaşılır.

Key Concept

Sürekli zamanlı Markov zincirlerinde (CTMC) sonsuz küçük üreteç matrisi QQ kullanılarak kararlı durum olasılıkları πQ=0\pi Q = 0 ve ∑πi=1\sum \pi_i = 1 denklemleriyle hesaplanır.
Rate this question

Topics

Sürekli Zamanlı Markov Süreçleri ve Doğum-Ölüm Süreçleri

More questions from this topic