Examkin

Question

Difficulty: HardHareketli Ortalama Modelleri (MA)

Makroekonomik bir göstergeyi inceleyen bir ekonometrist, serinin veri üretim mekanizmasını Yt=μ+ut+γ1ut−1+γ2ut−2Y_t = \mu + u_t + \gamma_1 u_{t-1} + \gamma_2 u_{t-2} olarak formüle etmiştir. Modelde yer alan utu_t terimi, sıfır beklenen değerli ve σ2\sigma^2 varyanslı beyaz gürültü (white noise) sürecidir.

Analiz kapsamında oluşturulan karakteristik denklemin (1+γ1z+γ2z2=01 + \gamma_1 z + \gamma_2 z^2 = 0) kökleri z1=0.8z_1 = 0.8 ve z2=2.5z_2 = 2.5 olarak hesaplanmıştır.

Verilen model yapısı ve kök değerleri göz önüne alındığında, bu zaman serisi ile ilgili aşağıdaki değerlendirmelerden hangisi istatistiksel açıdan kesinlikle doğrudur?

  1. A
    Modelin gecikme polinomuna ait köklerden biri mutlak değerce 1'den küçük çıktığı için seri durağan olmayan bir yapı sergilemektedir ve analize devam edilebilmesi için serinin farkı alınmalıdır.
  2. B
    Model ikinci dereceden bir hata yapısına sahip olduğu için, seriye ait teorik otokorelasyon fonksiyonu (ACF) üssel olarak sönümlenirken, kısmi otokorelasyon fonksiyonu (PACF) ikinci gecikmeden sonra sıfır değerini alacaktır.
  3. Veri üretim süreci doğası gereği zayıf durağanlık koşullarını sağlamaktadır; ancak köklerden birinin birim çemberin içinde yer alması sebebiyle sonsuz geçmiş değerler cinsinden bir otoregresif (AR) modele dönüştürülemez.Answer
  4. D
    Süreçte utu_t hata terimleri üzerinden hareketli ortalama hesaplanırken, zaman ekseninde dönem kaydırması veya merkezileştirme yapılmadığı için seri zayıf durağanlık özelliğini yitirecektir.
  5. E
    Modelin durağanlık ve dönüştürülebilirlik özelliklerinin incelenebilmesi için utu_t terimlerine uygulanan gecikme operatörü (BB) yerine, birinci dereceden fark alma operatörü (1−B1-B) kullanılarak karakteristik kökler yeniden hesaplanmalıdır.

Answer

Veri üretim süreci doğası gereği zayıf durağanlık koşullarını sağlamaktadır; ancak köklerden birinin birim çemberin içinde yer alması sebebiyle sonsuz geçmiş değerler cinsinden bir otoregresif (AR) modele dönüştürülemez.
Verilen süreç bir ikinci dereceden hareketli ortalama, yani MA(2) modelidir. İstatistiksel zaman serisi teorisine göre, MA(q) modelleri hata terimlerinin sonlu bir doğrusal kombinasyonu olduğundan katsayıların büyüklüğünden bağımsız olarak daima zayıf durağandır. Ancak bir MA sürecinin sonsuz dereceli bir AR sürecine (tersine çevrilebilir - invertible) dönüştürülebilmesi için karakteristik gecikme polinomunun köklerinin mutlak değerce 1'den büyük (birim çemberin dışında) olması gerekir. Soruda verilen z1=0.8z_1 = 0.8 kökü bu kuralı ihlal ettiği için süreç durağandır fakat tersinir değildir.

Step-by-Step Solution

1
Veri üretim sürecinin türünü ve özelliklerini belirleme
Modelin bir MA(2) süreci olduğu ve sonlu hareketli ortalama süreçlerinin her zaman zayıf durağan olduğu tespit edilir.
Zaman serisi analizinde MA(q) modelleri, katsayılarından bağımsız olarak sabit varyans ve ortalamaya sahip oldukları için daima durağandır.
2
Karakteristik denklemin köklerini tersinirlik (invertibility) açısından değerlendirme
Köklerin z1=0.8z_1 = 0.8 ve z2=2.5z_2 = 2.5 olduğu gözlemlenir. Tersinirlik şartı olan ∣z∣>1|z| > 1 koşulu test edilir.
Bir MA sürecinin geçmiş gözlemler cinsinden AR(∞)AR(\infty) olarak yazılabilmesi için karakteristik köklerin birim çemberin dışında yer alması matematiksel bir zorunluluktur.
3
Sonucu yorumlama ve sentezleme
∣z1∣=0.8<1|z_1| = 0.8 < 1 olduğu için modelin tersinirlik koşulunu ihlal ettiği, ancak durağanlık özelliğini koruduğu sonucuna varılır.
Durağanlık ve tersinirlik birbirinden bağımsız iki farklı kavramdır; MA modelleri durağanlık için kök kısıtlamasına ihtiyaç duymaz.

Key Concept

Hareketli Ortalama (MA) Modellerinde Durağanlık ve Tersinirlik Koşulları

Alternative Method

Tersinirlik, köklerin büyüklüğü yerine direkt olarak gecikme operatörü parametreleri üzerinden de analiz edilebilir. MA(2) modeli için karakteristik kökler ile parametreler arasındaki ilişki incelendiğinde sürecin tersinir olmadığı doğrulanabilir.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Hareketli Ortalama Modelleri (MA)

More questions from this topic