Examkin

Question

Difficulty: Very hardYay Sarkacı ve Yayların Bağlanması

Boyu 3L3L olan homojen ve esnek bir yay, boyları LL ve 2L2L olacak şekilde iki parçaya bölünüyor. Bu yay parçaları kullanılarak aşağıdaki iki farklı basit harmonik hareket düzeneği kuruluyor:

* I. Düzenek: Boyu LL olan yay parçası, yer çekimi ivmesinin gg olduğu sürtünmesiz yatay düzlemde mm kütleli bir cisme bağlanarak salınım yaptırılıyor. Sistemin periyodu T1T_1 olarak ölçülüyor.
* II. Düzenek: Boyu 2L2L olan yay parçası, yer çekimi ivmesinin 2g2g olduğu bir ortamda, yukarı doğru gg ivmesiyle hızlanan bir asansörün tavanına 2m2m kütleli bir cisim asılarak düşey doğrultuda salınım yaptırılıyor. Sistemin periyodu T2T_2 olarak ölçülüyor.

Buna göre, sistemlerin periyotlarının oranı T1T2\frac{T_1}{T_2} kaçtır?

  1. A
    1
  2. B
    32\frac{\sqrt{3}}{2}
  3. 12\frac{1}{2}Answer
  4. D
    3\sqrt{3}
  5. E
    2

Answer

1/2
Yay sarkacının periyodu, kütle ve yay sabitinin kareköküyle orantılıdır (T=2πm/kT = 2\pi\sqrt{m/k}). Ortamın yer çekimi ivmesinin farklı olması ya da asansörün ivmeli hareket yapması yay sarkacının periyodunu etkilemez. Boyu 3L3L olan yay LL ve 2L2L olarak bölünürse yay sabitleri sırasıyla 3k03k_0 ve 1.5k01.5k_0 olur. Birinci düzenekteki periyot T1=2πm/3k0T_1 = 2\pi\sqrt{m/3k_0}, ikinci düzenekteki periyot ise T2=2π2m/1.5k0=2π4m/3k0T_2 = 2\pi\sqrt{2m/1.5k_0} = 2\pi\sqrt{4m/3k_0} olur. Bu ifadelerin birbirine oranı ise 1/2 değerini verir.

Step-by-Step Solution

1
Yayın bölünmesi durumunda yay sabitlerinin belirlenmesi
k1=3k0k_1 = 3k_0 ve k2=1.5k0k_2 = 1.5k_0
Homojen bir yayın yay sabiti, yayın boyu ile ters orantılıdır (k∝1Lk \propto \frac{1}{L}). 3L3L boyundaki yayın sabiti k0k_0 kabul edilirse, LL boyundaki parçanın sabiti 3k03k_0, 2L2L boyundaki parçanın sabiti ise 1.5k01.5k_0 olur.
2
I. Düzeneğin periyodunun hesaplanması
T1=2πm3k0T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{m}{3k_0}}
Sürtünmesiz yatay düzlemdeki yay sarkacının periyodu, yer çekimi ivmesinden bağımsızdır ve doğrudan T=2πmkT = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} formülüyle hesaplanır.
3
II. Düzeneğin periyodunun hesaplanması
T2=2π4m3k0T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{4m}{3k_0}}
Yay sarkacının periyodu ortamın yer çekimi ivmesine (2g2g) veya asansörün ivmesine (a=ga = g) bağlı değildir. Dolayısıyla asansör içindeki 2m2m kütleli cismin düşey salınım periyodu T2=2π2m1.5k0=2π4m3k0T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{2m}{1.5k_0}} = 2\pi \sqrt{\frac{4m}{3k_0}} olur.
4
Periyotların oranlanması
T1T2=12\frac{T_1}{T_2} = \frac{1}{2}
Elde edilen periyot ifadeleri oranlandığında: T1T2=2πm3k02π4m3k0=m4m=12\frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi \sqrt{\frac{m}{3k_0}}}{2\pi \sqrt{\frac{4m}{3k_0}}} = \sqrt{\frac{m}{4m}} = \frac{1}{2} sonucuna ulaşılır.

Key Concept

Yay sarkacının salınım periyodu yalnızca sarkaç ucundaki cismin kütlesine ve yayın esneklik sabitine bağlı olup, yer çekimi ivmesinden veya eylemsizlik kuvvetlerinden etkilenmez. Ayrıca yayın boyu kısaldıkça yay sabiti ters orantılı olarak artar.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Yay Sarkacı ve Yayların Bağlanması

More questions from this topic