Examkin

Question

Difficulty: MediumYarım Açı Formülleri
θ∈(0,π4)\theta \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere,
cos⁡4θ−sin⁡4θsin⁡θcos⁡θ=83\frac{\cos^4 \theta - \sin^4 \theta}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{8}{3}
olduğuna göre, tan⁡θ\tan \theta değeri kaçtır?
  1. 13\frac{1}{3}Answer
  2. B
    12\frac{1}{2}
  3. C
    23\frac{2}{3}
  4. D
    22
  5. E
    33

Answer

13\frac{1}{3}
Verilen ifade iki kare farkı ve yarım açı formülleriyle sadeleştirildiğinde tan⁡(2θ)=34\tan(2\theta) = \frac{3}{4} elde edilir. Tanjant yarım açı formülüyle kurulan ikinci dereceden denklem çözüldüğünde ve açının (0,π4)\left(0, \frac{\pi}{4}\right) aralığında olduğu (yani tanjant değerinin pozitif olduğu) dikkate alındığında doğru değer 13\frac{1}{3} olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Pay kısmındaki cos⁡4θ−sin⁡4θ\cos^4 \theta - \sin^4 \theta ifadesini iki kare farkı özdeşliği kullanarak çarpanlarına ayırın.
(cos⁡2θ−sin⁡2θ)(cos⁡2θ+sin⁡2θ)=cos⁡(2θ)⋅1=cos⁡(2θ)(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta)(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = \cos(2\theta) \cdot 1 = \cos(2\theta)
Trigonometrik yarım açı ve temel özdeşlik kurallarını kullanarak ifadeyi basitleştirmek.
2
Paydadaki sin⁡θcos⁡θ\sin \theta \cos \theta ifadesini sinüs yarım açı formülü yardımıyla düzenleyin.
12sin⁡(2θ)\frac{1}{2}\sin(2\theta)
Payda kısmını tek bir açın��n (2θ2\theta) trigonometrik oranı cinsinden yazmak.
3
Elde edilen sonuçları denklemde yerine yazarak tan⁡(2θ)\tan(2\theta) değerini bulun.
cos⁡(2θ)12sin⁡(2θ)=83  ⟹  2cot⁡(2θ)=83  ⟹  cot⁡(2θ)=43  ⟹  tan⁡(2θ)=34\frac{\cos(2\theta)}{\frac{1}{2}\sin(2\theta)} = \frac{8}{3} \implies 2\cot(2\theta) = \frac{8}{3} \implies \cot(2\theta) = \frac{4}{3} \implies \tan(2\theta) = \frac{3}{4}
Tanjant yarım açı formülünü uygulayabilmek için tan⁡(2θ)\tan(2\theta) değerine ulaşmak.
4
Tanjant yarım açı formülünü kullanarak tan⁡θ=t\tan\theta = t değişkeni için bir denklem kurun ve bu denklemi çözün.
2t1−t2=34  ⟹  8t=3−3t2  ⟹  3t2+8t−3=0  ⟹  (3t−1)(t+3)=0\frac{2t}{1 - t^2} = \frac{3}{4} \implies 8t = 3 - 3t^2 \implies 3t^2 + 8t - 3 = 0 \implies (3t - 1)(t + 3) = 0 Buradan t=13t = \frac{1}{3} veya t=−3t = -3 bulunur.
tan⁡(2θ)\tan(2\theta) değerinden yarım açı formülüyle tan⁡θ\tan\theta değerine geçiş yapmak.
5
Verilen θ∈(0,π4)\theta \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) aralığını göz önünde bulundurarak doğru tanjant değerini seçin.
θ\theta açısı birinci bölgede olduğundan tan⁡θ>0\tan\theta > 0 olmalıdır. Bu nedenle t=13t = \frac{1}{3} değeri alınır.
Açının bulunduğu bölgeye göre trigonometrik fonksiyonun işaretini belirlemek.

Key Concept

Yarım açı formülleri kullanılarak trigonometrik ifadelerin sadeleştirilmesi ve ikinci dereceden denklemler yardımıyla yarım açının trigonometrik değerinin bulunması.
Rate this question

Topics

Yarım Açı Formülleri

More questions from this topic