Examkin

Question

Difficulty: MediumYarım Açı Formülleri
x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,
cos⁡(2x)sin⁡x+cos⁡x=12\frac{\cos(2x)}{\sin x + \cos x} = \frac{1}{2}

olduğuna göre, sin⁡(2x)\sin(2x) ifadesinin değeri kaçt��r?

  1. A
    12\frac{1}{2}
  2. 34\frac{3}{4}Answer
  3. C
    58\frac{5}{8}
  4. D
    154\frac{\sqrt{15}}{4}
  5. E
    −34-\frac{3}{4}

Answer

doğru cevap olan 34\frac{3}{4}
İfade çarpanlarına ayrılıp sadeleştirildikten sonra cos⁡x−sin⁡x=12\cos x - \sin x = \frac{1}{2} eşitliği elde edilir. Bu eşitliğin her iki tarafının karesi alındığında 1−sin⁡(2x)=141 - \sin(2x) = \frac{1}{4} denklemi kurulur ve buradan doğru cevap olan 34\frac{3}{4} değerine ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Pay kısmındaki cos⁡(2x)\cos(2x) ifadesine iki kare farkı biçimindeki yarım açı açılımı uygulanır.
(cos⁡x−sin⁡x)(cos⁡x+sin⁡x)sin⁡x+cos⁡x=12\frac{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}{\sin x + \cos x} = \frac{1}{2}
Payda ile sadeleştirme yapabilmek için cos⁡(2x)=cos⁡2x−sin⁡2x\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x özdeşliği çarpanlarına ayrılır.
2
Pay ve paydadaki ortak (sin⁡x+cos⁡x)(\sin x + \cos x) terimleri sadeleştirilir.
cos⁡x−sin⁡x=12\cos x - \sin x = \frac{1}{2}
x∈(0,π/2)x \in (0, \pi/2) aralığında sinüs ve kosinüs değerlerinin toplamı sıfırdan büyük olduğu için sadeleştirme işlemi güvenle yapılabilir.
3
Elde edilen denklemin her iki tarafının karesi alınarak düzenlenir.
cos⁡2x−2sin⁡xcos⁡x+sin⁡2x=14⇒1−sin⁡(2x)=14\cos^2 x - 2\sin x \cos x + \sin^2 x = \frac{1}{4} \Rightarrow 1 - \sin(2x) = \frac{1}{4}
cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x + \sin^2 x = 1 temel özdeşliği ve sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x \cos x yarım açı formülü kullanılarak denklem düzenlenir.
4
sin⁡(2x)\sin(2x) ifadesi yalnız bırakılarak değer hesaplanır.
sin⁡(2x)=1−14=34\sin(2x) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}
İstenen sin⁡(2x)\sin(2x) değerini bulmak için basit bir cebirsel düzenleme yapılır.

Key Concept

Kosinüs ve Sinüs Yarım Açı Formülleri
Rate this question

Topics

Yarım Açı Formülleri

More questions from this topic