Examkin

Yarım Açı Formülleri

69 questions

All types69Multiple choice37Numeric32
Question 1Question →
x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,
cos⁡(2x)sin⁡x+cos⁡x=12\frac{\cos(2x)}{\sin x + \cos x} = \frac{1}{2}

olduğuna göre, sin⁡(2x)\sin(2x) ifadesinin değeri kaçt��r?

Show answer & explanation

Answer: 34\frac{3}{4}

Answer

doğru cevap olan 34\frac{3}{4}
İfade çarpanlarına ayrılıp sadeleştirildikten sonra cos⁡x−sin⁡x=12\cos x - \sin x = \frac{1}{2} eşitliği elde edilir. Bu eşitliğin her iki tarafının karesi alındığında 1−sin⁡(2x)=141 - \sin(2x) = \frac{1}{4} denklemi kurulur ve buradan doğru cevap olan 34\frac{3}{4} değerine ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Pay kısmındaki cos⁡(2x)\cos(2x) ifadesine iki kare farkı biçimindeki yarım açı açılımı uygulanır.
(cos⁡x−sin⁡x)(cos⁡x+sin⁡x)sin⁡x+cos⁡x=12\frac{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}{\sin x + \cos x} = \frac{1}{2}
Payda ile sadeleştirme yapabilmek için cos⁡(2x)=cos⁡2x−sin⁡2x\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x özdeşliği çarpanlarına ayrılır.
2
Pay ve paydadaki ortak (sin⁡x+cos⁡x)(\sin x + \cos x) terimleri sadeleştirilir.
cos⁡x−sin⁡x=12\cos x - \sin x = \frac{1}{2}
x∈(0,π/2)x \in (0, \pi/2) aralığında sinüs ve kosinüs değerlerinin toplamı sıfırdan büyük olduğu için sadeleştirme işlemi güvenle yapılabilir.
3
Elde edilen denklemin her iki tarafının karesi alınarak düzenlenir.
cos⁡2x−2sin⁡xcos⁡x+sin⁡2x=14⇒1−sin⁡(2x)=14\cos^2 x - 2\sin x \cos x + \sin^2 x = \frac{1}{4} \Rightarrow 1 - \sin(2x) = \frac{1}{4}
cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x + \sin^2 x = 1 temel özdeşliği ve sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x \cos x yarım açı formülü kullanılarak denklem düzenlenir.
4
sin⁡(2x)\sin(2x) ifadesi yalnız bırakılarak değer hesaplanır.
sin⁡(2x)=1−14=34\sin(2x) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}
İstenen sin⁡(2x)\sin(2x) değerini bulmak için basit bir cebirsel düzenleme yapılır.

Key Concept

Kosinüs ve Sinüs Yarım Açı Formülleri
Question 2Question →
x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) olmak üzere,
cot⁡x−tan⁡x=3\cot x - \tan x = 3
olduğuna göre, 26⋅sin⁡(4x)26 \cdot \sin(4x) ifadesinin de��eri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 24

Answer

İstenen ifadenin değeri 24 olarak bulunur.
Verilen denklem cot⁡x−tan⁡x=2cot⁡(2x)=3\cot x - \tan x = 2\cot(2x) = 3 şeklinde yarım açı formülüne dönüştürüldüğünde tan⁡(2x)=2/3\tan(2x) = 2/3 elde edilir. İlgili dik üçgenden ve bölge analizinden yararlanılarak sin⁡(2x)=2/13\sin(2x) = 2/\sqrt{13} ve cos⁡(2x)=3/13\cos(2x) = 3/\sqrt{13} bulunur. Son olarak sin⁡(4x)=2sin⁡(2x)cos⁡(2x)=12/13\sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x) = 12/13 değeri hesaplanır ve bu değer 26 ile çarpılarak 24 cevabına ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
cot⁡x−tan⁡x=3\cot x - \tan x = 3 eşitliğini yarım açı formülleri yardımıyla tan⁡(2x)\tan(2x) ifadesine dönüştürmek.
tan⁡(2x)=23\tan(2x) = \frac{2}{3} olarak bulunur.
Verilen ifadeyi yarım açı ilişkisini kullanabileceğimiz daha sade bir trigonometrik fonksiyona indirgemek.
2
2x2x açısının bölgesini belirleyerek sin⁡(2x)\sin(2x) ve cos⁡(2x)\cos(2x) değerlerini hesaplamak.
sin⁡(2x)=213\sin(2x) = \frac{2}{\sqrt{13}} ve cos⁡(2x)=313\cos(2x) = \frac{3}{\sqrt{13}} olarak elde edilir.
sin⁡(4x)\sin(4x) ifadesini açtığımızda karşımıza çıkacak olan sin⁡(2x)\sin(2x) ve cos⁡(2x)\cos(2x) değerlerini elde etmek.
3
sin⁡(4x)=2sin⁡(2x)cos⁡(2x)\sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x) yarım açı formülünü uygulamak ve 26⋅sin⁡(4x)26 \cdot \sin(4x) değerini hesaplamak.
26⋅sin⁡(4x)=2426 \cdot \sin(4x) = 24 olarak bulunur.
Soruda sorulan ifadenin nihai sayısal değerine ulaşmak.

Key Concept

Trigonometrik ifadelerde yarım açı formüllerinin (sinüs ve kosinüs çift kat açı formülleri) uygulanması ve bölge analizine göre işaret tayini.
Estimated Time:2m 0s
Question 3Question →
θ∈(0,π4)\theta \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere,
cos⁡4θ−sin⁡4θsin⁡θcos⁡θ=83\frac{\cos^4 \theta - \sin^4 \theta}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{8}{3}
olduğuna göre, tan⁡θ\tan \theta değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 13\frac{1}{3}

Answer

13\frac{1}{3}
Verilen ifade iki kare farkı ve yarım açı formülleriyle sadeleştirildiğinde tan⁡(2θ)=34\tan(2\theta) = \frac{3}{4} elde edilir. Tanjant yarım açı formülüyle kurulan ikinci dereceden denklem çözüldüğünde ve açının (0,π4)\left(0, \frac{\pi}{4}\right) aralığında olduğu (yani tanjant değerinin pozitif olduğu) dikkate alındığında doğru değer 13\frac{1}{3} olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Pay kısmındaki cos⁡4θ−sin⁡4θ\cos^4 \theta - \sin^4 \theta ifadesini iki kare farkı özdeşliği kullanarak çarpanlarına ayırın.
(cos⁡2θ−sin⁡2θ)(cos⁡2θ+sin⁡2θ)=cos⁡(2θ)⋅1=cos⁡(2θ)(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta)(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = \cos(2\theta) \cdot 1 = \cos(2\theta)
Trigonometrik yarım açı ve temel özdeşlik kurallarını kullanarak ifadeyi basitleştirmek.
2
Paydadaki sin⁡θcos⁡θ\sin \theta \cos \theta ifadesini sinüs yarım açı formülü yardımıyla düzenleyin.
12sin⁡(2θ)\frac{1}{2}\sin(2\theta)
Payda kısmını tek bir açın��n (2θ2\theta) trigonometrik oranı cinsinden yazmak.
3
Elde edilen sonuçları denklemde yerine yazarak tan⁡(2θ)\tan(2\theta) değerini bulun.
cos⁡(2θ)12sin⁡(2θ)=83  ⟹  2cot⁡(2θ)=83  ⟹  cot⁡(2θ)=43  ⟹  tan⁡(2θ)=34\frac{\cos(2\theta)}{\frac{1}{2}\sin(2\theta)} = \frac{8}{3} \implies 2\cot(2\theta) = \frac{8}{3} \implies \cot(2\theta) = \frac{4}{3} \implies \tan(2\theta) = \frac{3}{4}
Tanjant yarım açı formülünü uygulayabilmek için tan⁡(2θ)\tan(2\theta) değerine ulaşmak.
4
Tanjant yarım açı formülünü kullanarak tan⁡θ=t\tan\theta = t değişkeni için bir denklem kurun ve bu denklemi çözün.
2t1−t2=34  ⟹  8t=3−3t2  ⟹  3t2+8t−3=0  ⟹  (3t−1)(t+3)=0\frac{2t}{1 - t^2} = \frac{3}{4} \implies 8t = 3 - 3t^2 \implies 3t^2 + 8t - 3 = 0 \implies (3t - 1)(t + 3) = 0 Buradan t=13t = \frac{1}{3} veya t=−3t = -3 bulunur.
tan⁡(2θ)\tan(2\theta) değerinden yarım açı formülüyle tan⁡θ\tan\theta değerine geçiş yapmak.
5
Verilen θ∈(0,π4)\theta \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) aralığını göz önünde bulundurarak doğru tanjant değerini seçin.
θ\theta açısı birinci bölgede olduğundan tan⁡θ>0\tan\theta > 0 olmalıdır. Bu nedenle t=13t = \frac{1}{3} değeri alınır.
Açının bulunduğu bölgeye göre trigonometrik fonksiyonun işaretini belirlemek.

Key Concept

Yarım açı formülleri kullanılarak trigonometrik ifadelerin sadeleştirilmesi ve ikinci dereceden denklemler yardımıyla yarım açının trigonometrik değerinin bulunması.
Question 4Question →
x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere,
1sin⁡2x+1cos⁡2x=16\frac{1}{\sin^2 x} + \frac{1}{\cos^2 x} = 16
olduğuna göre, cos⁡(4x)\cos(4x) ifadesinin değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 0.5

Answer

İfadenin değeri 0.5 olarak bulunur.
Verilen rasyonel ifadenin paydaları eşitlenip düzenlendiğinde sin⁡2x⋅cos⁡2x=116\sin^2 x \cdot \cos^2 x = \frac{1}{16} elde edilir. Sinüs yarım açı formülü olan sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x \cos x bağıntısının karesi kullanılarak sin⁡2(2x)=14\sin^2(2x) = \frac{1}{4} değerine ulaşılır. Kosinüs yarım açı formülü cos⁡(4x)=1−2sin⁡2(2x)\cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x) eşitliğinde bu değer yerine yazıldığında sonuç 0.5 çıkmaktadır.

Step-by-Step Solution

1
Payda eşitleme ve temel özdeşliği uygulama
sin⁡2x⋅cos⁡2x=116\sin^2 x \cdot \cos^2 x = \frac{1}{16}
Rasyonel ifadeleri birleştirmek ve sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x + \cos^2 x = 1 özdeşliğini kullanmak için paydalar eşitlenmiştir.
2
Sinüs yarım açı formülünü uygulama
sin⁡2(2x)=14\sin^2(2x) = \frac{1}{4}
sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x \cos x olduğundan, ifadenin karesi alınarak sin⁡2xcos⁡2x\sin^2 x \cos^2 x ifadesi sin⁡2(2x)\sin^2(2x) cinsinden yazılmıştır.
3
Kosinüs yarım a��ı formülünü uygulayarak sonucu hesaplama
cos⁡(4x)=0.5\cos(4x) = 0.5
cos⁡(4x)=1−2sin⁡2(2x)\cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x) formülünde bulunan değer yerine yazılarak sonuç hesaplanmıştır.

Key Concept

Sinüs ve Kosinüs Yarım Açı Formüllerinin Uygulanması
Question 5Question →
x∈(π2,π)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) olmak üzere,
sin⁡(2x)1−cos⁡(2x)=−3\frac{\sin(2x)}{1 - \cos(2x)} = -3

olduğuna göre, cos⁡(2x)\cos(2x) ifadesinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 45\frac{4}{5}

Answer

4/5 değeri
Verilen ifade sadeleştirildiğinde cot⁡x=−3\cot x = -3 elde edilir. İkinci bölgede cot⁡x=−3\cot x = -3 olduğu için dik üçgen yardımıyla cos⁡x=−310\cos x = -\frac{3}{\sqrt{10}} ve sin⁡x=110\sin x = \frac{1}{\sqrt{10}} değerleri bulunur. cos⁡(2x)=cos⁡2x−sin⁡2x\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x formülünde bu değerler yerine yazıldığında doğru sonuç 4/5 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Yarım açı formüllerini kullanarak verilen rasyonel ifadeyi sadeleştirmek
sin⁡(2x)1−cos⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x1−(1−2sin⁡2x)=2sin⁡xcos⁡x2sin⁡2x=cot⁡x=−3\frac{\sin(2x)}{1 - \cos(2x)} = \frac{2\sin x \cos x}{1 - (1 - 2\sin^2 x)} = \frac{2\sin x \cos x}{2\sin^2 x} = \cot x = -3
Rasyonel ifadeyi en sade haline getirerek açının kotanjant değerini belirlemek
2
x∈(π2,π)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) aralığını dikkate alarak sin⁡x\sin x ve cos⁡x\cos x değerlerini bulmak
sin⁡x=110\sin x = \frac{1}{\sqrt{10}} ve cos⁡x=−310\cos x = -\frac{3}{\sqrt{10}}
İkinci bölgede kosinüs değerinin negatif, sinüs değerinin pozitif olduğunu belirleyip dik üçgen yardımıyla oranları hesaplamak
3
cos⁡(2x)=cos⁡2x−sin⁡2x\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x formülünü uygulamak
cos⁡(2x)=(−310)2−(110)2=910−110=45\cos(2x) = \left(-\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^2 - \left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)^2 = \frac{9}{10} - \frac{1}{10} = \frac{4}{5}
Kosinüs yarım açı formülünü kullanarak istenen değere ulaşmak

Key Concept

Yarım Açı Formülleri
Question 6Question →
θ∈(5π8,3π4)\theta \in \left(\frac{5\pi}{8}, \frac{3\pi}{4}\right) olmak üzere,
cos⁡4θ−sin⁡4θsin⁡(2θ)−tan⁡(2θ)=−712\frac{\cos^4\theta - \sin^4\theta}{\sin(2\theta)} - \tan(2\theta) = -\frac{7}{12}
olduğuna göre, cos⁡θ\cos\theta değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: −55-\frac{\sqrt{5}}{5}

Answer

Soru kökündeki ifadenin sadeleştirilmesiyle tan⁡θ=−2\tan\theta = -2 elde edilir. İkinci bölgede kosinüs negatif değer aldığından dik üçgen yardımıyla cos⁡θ=−55\cos\theta = -\frac{\sqrt{5}}{5} olarak bulunur.
Verilen aralıkta trigonometrik fonksiyonların işaretleri doğru belirlenip yarım açı formülleri ardışık olarak uygulandığında tanjant değeri tan⁡θ=−2\tan\theta = -2 olarak bulunur. İkinci bölgede kosinüs fonksiyonu negatif değer aldığından, dik üçgen bağıntısından cos⁡θ=−55\cos\theta = -\frac{\sqrt{5}}{5} değerine ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
İfadenin sol tarafındaki pay kısmını iki kare farkı özdeşliğini kullanarak sadeleştirin.
cos⁡4θ−sin⁡4θ=(cos⁡2θ−sin⁡2θ)(cos⁡2θ+sin⁡2θ)=cos⁡(2θ)\cos^4\theta - \sin^4\theta = (\cos^2\theta - \sin^2\theta)(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = \cos(2\theta)
Pay kısmını çarpanlarına ayırıp yarım açı formüllerini uygulayarak ifadeyi basitleştirmek için.
2
Bulunan sonucu denklemde yerine yazıp ifadeyi cot(2θ) ve tan(2θ) cinsinden düzenleyin.
cos⁡(2θ)sin⁡(2θ)−tan⁡(2θ)=cot⁡(2θ)−tan⁡(2θ)\frac{\cos(2\theta)}{\sin(2\theta)} - \tan(2\theta) = \cot(2\theta) - \tan(2\theta)
Yarım açı formüllerini daha kolay uygulamak için terimleri trigonometrik oranlar cinsinden yazmak.
3
cot(2θ) - tan(2θ) ifadesini tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden yazın.
cot⁡(2θ)−tan⁡(2θ)=cos⁡(2θ)sin⁡(2θ)−sin⁡(2θ)cos⁡(2θ)=cos⁡2(2θ)−sin⁡2(2θ)sin⁡(2θ)cos⁡(2θ)=cos⁡(4θ)12sin⁡(4θ)=2cot⁡(4θ)\cot(2\theta) - \tan(2\theta) = \frac{\cos(2\theta)}{\sin(2\theta)} - \frac{\sin(2\theta)}{\cos(2\theta)} = \frac{\cos^2(2\theta) - \sin^2(2\theta)}{\sin(2\theta)\cos(2\theta)} = \frac{\cos(4\theta)}{\frac{1}{2}\sin(4\theta)} = 2\cot(4\theta)
Denklemi tek bir açı cinsinden çözebilmek amacıyla yarım açı formülünü tersine uygulamak.
4
Elde edilen 2cot(4θ) ifadesini verilen değere eşitleyip tan(4θ) değerini bulun.
2cot⁡(4θ)=−712  ⟹  cot⁡(4θ)=−724  ⟹  tan⁡(4θ)=−2472\cot(4\theta) = -\frac{7}{12} \implies \cot(4\theta) = -\frac{7}{24} \implies \tan(4\theta) = -\frac{24}{7}
Bir sonraki adımda tan(2θ) değerini bulabilmek için tan(4θ) değerini elde etmek.
5
tan(2θ) değerini bulmak için tan(4θ) yarım açı formülünü kullanın ve verilen aralığa göre işaretini belirleyin.
θ∈(5π8,3π4)  ⟹  2θ∈(5π4,3π2)\theta \in \left(\frac{5\pi}{8}, \frac{3\pi}{4}\right) \implies 2\theta \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) (3. bölge). 3. bölgede tanjant pozitif olduğundan tan⁡(2θ)>0\tan(2\theta) > 0 olmalıdır. tan⁡(4θ)=2tan⁡(2θ)1−tan⁡2(2θ)  ⟹  −247=2t1−t2  ⟹  12t2−7t−12=0  ⟹  (3t−4)(4t+3)=0  ⟹  tan⁡(2θ)=43\tan(4\theta) = \frac{2\tan(2\theta)}{1 - \tan^2(2\theta)} \implies -\frac{24}{7} = \frac{2t}{1-t^2} \implies 12t^2 - 7t - 12 = 0 \implies (3t-4)(4t+3) = 0 \implies \tan(2\theta) = \frac{4}{3}
Açının bulunduğu bölgeyi analiz ederek doğru tan(2θ) değerini seçmek.
6
tan(2θ) değerinden yararlanarak tanθ değerini bulun ve θ açısının bölgesine göre işaretini belirleyin.
θ∈(5π8,3π4)\theta \in \left(\frac{5\pi}{8}, \frac{3\pi}{4}\right) (2. bölge). 2. bölgede tanjant negatif olduğundan tan⁡θ<0\tan\theta < 0 olmalıdır. tan⁡(2θ)=2tan⁡θ1−tan⁡2θ  ⟹  43=2u1−u2  ⟹  2u2+3u−2=0  ⟹  (2u−1)(u+2)=0  ⟹  tan⁡θ=−2\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} \implies \frac{4}{3} = \frac{2u}{1-u^2} \implies 2u^2 + 3u - 2 = 0 \implies (2u-1)(u+2) = 0 \implies \tan\theta = -2
θ açısının bölgesini dikkate alarak tanθ değerini doğru şekilde hesaplamak.
7
tanθ değerinden yola çıkarak dik üçgen yardımıyla cosθ değerini bulun.
tan⁡θ=−2\tan\theta = -2 ve θ\theta 2. bölgede olduğundan cos⁡θ\cos\theta negatif değer alır. Kenarları 2 ve 1 olan dik üçgende hipotenüs 5\sqrt{5} birimdir. Buradan cos⁡θ=−15=−55\cos\theta = -\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5} elde edilir.
Tanjant değerini kosinüs değerine dönüştürmek ve bölgeye göre doğru işareti atamak.

Key Concept

Yarım Açı Formülleri
Question 7Question →
x∈(0,π8)x \in \left(0, \frac{\pi}{8}\right) olmak üzere,
cos⁡2(2x)−sin⁡2(2x)sin⁡2xcos⁡2x=12\frac{\cos^2(2x) - \sin^2(2x)}{\sin^2 x \cos^2 x} = 12

olduğuna göre, cos⁡(8x)\cos(8x) değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: -0.28

Answer

İfadenin doğru cevabı -0.28 olarak bulunur.
Verilen trigonometrik ifade yarım açı formülleri kullanılarak cos⁡(4x)=3sin⁡2(2x)\cos(4x) = 3\sin^2(2x) biçimine dönüştürülür. cos⁡(4x)=1−2sin⁡2(2x)\cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x) özdeşliği yerine yazıldığında sin⁡2(2x)=1/5\sin^2(2x) = 1/5 ve cos⁡(4x)=3/5\cos(4x) = 3/5 elde edilir. Son olarak cos⁡(8x)=2cos⁡2(4x)−1\cos(8x) = 2\cos^2(4x) - 1 formülünden doğru cevap -7/25 yani -0.28 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Pay ve paydadaki ifadeleri yarım açı formülleri cinsinden yazın.
Pay: cos⁡(4x)\cos(4x), Payda: sin⁡2(2x)4\frac{\sin^2(2x)}{4}
İfadeyi tek bir açı türüne indirgemek ve sadeleştirmek için.
2
Elde edilen ifadeleri verilen denklemde yerine koyup düzenleyin.
4cos⁡(4x)sin⁡2(2x)=12  ⟹  cos⁡(4x)=3sin⁡2(2x)\frac{4\cos(4x)}{\sin^2(2x)} = 12 \implies \cos(4x) = 3\sin^2(2x)
cos⁡(4x)\cos(4x) ve sin⁡2(2x)\sin^2(2x) arasındaki ilişkiyi bulmak için.
3
cos⁡(4x)\cos(4x) yerine kosinüsün yarım açı formülü olan 1−2sin⁡2(2x)1 - 2\sin^2(2x) yazarak sin⁡2(2x)\sin^2(2x) değerini hesaplayın.
1−2sin⁡2(2x)=3sin⁡2(2x)  ⟹  sin⁡2(2x)=151 - 2\sin^2(2x) = 3\sin^2(2x) \implies \sin^2(2x) = \frac{1}{5}
İkinci dereceden denklemi çözerek sin⁡2(2x)\sin^2(2x) değerini elde etmek için.
4
sin⁡2(2x)\sin^2(2x) değerini kullanarak cos⁡(4x)\cos(4x) değerini bulun.
cos⁡(4x)=1−2(15)=35\cos(4x) = 1 - 2\left(\frac{1}{5}\right) = \frac{3}{5}
Bir sonraki ad��mda cos⁡(8x)\cos(8x) değerini hesaplarken cos⁡(4x)\cos(4x) değerine ihtiyaç duyulduğu için.
5
Kosinüs yarım açı formülünü tekrar uygulayarak cos⁡(8x)\cos(8x) değerini hesaplayın.
cos⁡(8x)=2cos⁡2(4x)−1=2(35)2−1=−725=−0.28\cos(8x) = 2\cos^2(4x) - 1 = 2\left(\frac{3}{5}\right)^2 - 1 = -\frac{7}{25} = -0.28
Soru kökündeki istenen değeri elde etmek için.

Key Concept

Kosinüs ve sinüs fonksiyonlarının yarım açı formüllerinin uygulanması ve denklemlerin çözülmesi.

Alternative Method

cos⁡(4x)=3sin⁡2(2x)\cos(4x) = 3\sin^2(2x) eşitliğinde sin⁡2(2x)=1−cos⁡2(2x)\sin^2(2x) = 1 - \cos^2(2x) yazılarak doğrudan cos⁡(2x)\cos(2x) veya cos⁡(4x)\cos(4x) üzerinden de çözüme gidilebilir: cos⁡(4x)=3(1−cos⁡2(2x))=3(1−1+cos⁡(4x)2)\cos(4x) = 3(1 - \cos^2(2x)) = 3\left(1 - \frac{1+\cos(4x)}{2}\right) denkleminden cos⁡(4x)=3−32−32cos⁡(4x)  ⟹  52cos⁡(4x)=32  ⟹  cos⁡(4x)=35\cos(4x) = 3 - \frac{3}{2} - \frac{3}{2}\cos(4x) \implies \frac{5}{2}\cos(4x) = \frac{3}{2} \implies \cos(4x) = \frac{3}{5} bulunur.
Estimated Time:2m 30s
Question 8Question →
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) olmak üzere,
1+sin⁡(2x)−1−sin⁡(2x)=−65\sqrt{1 + \sin(2x)} - \sqrt{1 - \sin(2x)} = -\frac{6}{5}

olduğuna göre, tan⁡x\tan x değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: −43-\frac{4}{3}

Answer

−43-\frac{4}{3}
Verilen denklemde karekök içindeki ifadeler tam kare olarak yazılıp mutlak değer dışına çıkarıldığında, x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığı için sin⁡x+cos⁡x>0\sin x + \cos x > 0 ve sin⁡x−cos⁡x>0\sin x - \cos x > 0 olduğu görülür. Buradan denklem 2cos⁡x=−652\cos x = -\frac{6}{5} haline gelir ve cos⁡x=−35\cos x = -\frac{3}{5} bulunur. İkinci bölgede sin⁡x=45\sin x = \frac{4}{5} olduğundan, tan⁡x=−43\tan x = -\frac{4}{3} olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Kök içlerindeki ifadeleri tam kare biçiminde yazma
1+sin⁡(2x)=sin⁡2x+cos⁡2x+2sin⁡xcos⁡x=(sin⁡x+cos⁡x)21 + \sin(2x) = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x = (\sin x + \cos x)^2

1−sin⁡(2x)=sin⁡2x+cos⁡2x−2sin⁡xcos⁡x=(sin⁡x−cos⁡x)21 - \sin(2x) = \sin^2 x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x = (\sin x - \cos x)^2
Kareköklü ifadeleri sadeleştirmek ve mutlak değer dışına çıkarmak için.
2
İfadeleri karekök dışına mutlak değer ile çıkarma
(sin⁡x+cos⁡x)2=∣sin⁡x+cos⁡x∣\sqrt{(\sin x + \cos x)^2} = |\sin x + \cos x|

(sin⁡x−cos⁡x)2=∣sin⁡x−cos⁡x∣\sqrt{(\sin x - \cos x)^2} = |\sin x - \cos x|
Karekök dışına çıkan çift dereceli köklü ifadelerin işaret kontrolünün yapılması gerektiği için.
3
Verilen açı aralığına göre mutlak değerlerin işaretlerini belirleme
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığında:

1. sin⁡x>0\sin x > 0 ve cos⁡x<0\cos x < 0 dır.

2. Bu aralıkta sin⁡x>∣cos⁡x∣\sin x > |\cos x| olduğundan sin⁡x+cos⁡x>0\sin x + \cos x > 0 dır. Bu yüzden ∣sin⁡x+cos⁡x∣=sin⁡x+cos⁡x|\sin x + \cos x| = \sin x + \cos x olur.

3. sin⁡x\sin x pozitif, cos⁡x\cos x negatif olduğundan sin⁡x−cos⁡x>0\sin x - \cos x > 0 dır. Bu yüzden ∣sin⁡x−cos⁡x∣=sin⁡x−cos⁡x|\sin x - \cos x| = \sin x - \cos x olur.
Mutlak değerli ifadelerin işaretlerini doğru belirleyerek denklemi çözmek için.
4
Elde edilen ifadeleri denklemde yerine yazarak cos⁡x\cos x değerini bulma
(sin⁡x+cos⁡x)−(sin⁡x−cos⁡x)=−65(\sin x + \cos x) - (\sin x - \cos x) = -\frac{6}{5}

2cos⁡x=−65  ⟹  cos⁡x=−352\cos x = -\frac{6}{5} \implies \cos x = -\frac{3}{5}
Denklemin sol tarafını sadeleştirip tek bir trigonometrik fonksiyona bağlı hale getirmek için.
5
sin⁡x\sin x ve tan⁡x\tan x değerlerini hesaplama
sin⁡x=45\sin x = \frac{4}{5}

tan⁡x=sin⁡xcos⁡x=4/5−3/5=−43\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{4/5}{-3/5} = -\frac{4}{3}
Tanjant değerini elde etmek için kosinüs değerinden yararlanıp sinüsü bulmak ve oranlamak için.

Key Concept

Yarım açı formülleri yardımıyla tam kare ifadeler oluşturma ve verilen aralıkta trigonometrik fonksiyonların işaretlerini inceleme.
Question 9Question →
x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere,
cos⁡(4x)cos⁡(2x)−sin⁡(2x)=1.2\frac{\cos(4x)}{\cos(2x) - \sin(2x)} = 1.2

olduğuna göre, sin⁡(4x)\sin(4x) ifadesinin değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 0.44

Answer

sin(4x) ifadesinin değeri 0,44 olarak bulunur.
Soruda pay kısmında verilen cos⁡(4x)\cos(4x) terimi kosinüs yarım açı formülüyle cos⁡2(2x)−sin⁡2(2x)\cos^2(2x) - \sin^2(2x) olarak yazılıp iki kare farkı şeklinde çarpanlarına ayrıldığında paydadaki cos⁡(2x)−sin⁡(2x)\cos(2x) - \sin(2x) terimiyle sadeleşir. Kalan cos⁡(2x)+sin⁡(2x)=1.2\cos(2x) + \sin(2x) = 1.2 denkleminin karesi alındığında elde edilen 1+sin⁡(4x)=1.441 + \sin(4x) = 1.44 denkleminden aranan değer 0.440.44 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Payda bulunan cos(4x) ifadesine yarım açı ve iki kare farkı özdeşliği uygulanır.
cos⁡(4x)=(cos⁡(2x)−sin⁡(2x))(cos⁡(2x)+sin⁡(2x))\cos(4x) = (\cos(2x) - \sin(2x))(\cos(2x) + \sin(2x))
Payda ile ortak çarpanlar elde edip sadeleştirme yapabilmek amacıyla bu dönüşüm uygulanır.
2
Elde edilen çarpanlar paydadaki terimle sadeleştirilir.
cos⁡(2x)+sin⁡(2x)=1.2\cos(2x) + \sin(2x) = 1.2
Pay ve paydadaki ortak olan (cos⁡(2x)−sin⁡(2x))(\cos(2x) - \sin(2x)) terimleri sadeleşerek ifadeyi doğrusal bir forma getirir.
3
Eşitliğin her iki tarafının karesi alınır.
cos⁡2(2x)+2sin⁡(2x)cos⁡(2x)+sin⁡2(2x)=1.44\cos^2(2x) + 2\sin(2x)\cos(2x) + \sin^2(2x) = 1.44
Trigonometrik özdeşlikleri kullanarak sin(4x) terimini açığa çıkarmak için iki tarafın da karesi alınmalıdır.
4
Temel trigonometrik özdeşlikler yerine yazılır ve bilinmeyen yalnız bırakılır.
1+sin⁡(4x)=1.44  ⟹  sin⁡(4x)=0.441 + \sin(4x) = 1.44 \implies \sin(4x) = 0.44
cos⁡2(2x)+sin⁡2(2x)=1\cos^2(2x) + \sin^2(2x) = 1 ve 2sin⁡(2x)cos⁡(2x)=sin⁡(4x)2\sin(2x)\cos(2x) = \sin(4x) eşitlikleri kullanılarak sonuca ulaşılır.

Key Concept

Kosinüs yarım açı formülü ile çarpanlara ayırma ve toplamın karesi özdeşliğinden sinüs yarım açı formülüne geçiş.
Question 10Question →
x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere,
cos⁡(2x)1+sin⁡(2x)=13\frac{\cos(2x)}{1 + \sin(2x)} = \frac{1}{3}

olduğuna göre, cos⁡(2x)\cos(2x) değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 0.6

Answer

Doğru cevap 0,6'dır.
Verilen denklemde pay cos⁡2x−sin⁡2x\cos^2 x - \sin^2 x şeklinde, payda ise (cos⁡x+sin⁡x)2(\cos x + \sin x)^2 şeklinde yazılıp sadeleştirildiğinde tan⁡x=1/2\tan x = 1/2 elde edilir. Bu değer cos⁡(2x)=1−tan⁡2x1+tan⁡2x\cos(2x) = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} formülünde yerine yazıldığında doğru sonuç 0,6 olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Trigonometrik ifadeleri yarım açı formülleri ve temel özdeşlikler yardımıyla çarpanlarına ayıralım.
cos⁡(2x)=cos⁡2x−sin⁡2x=(cos⁡x−sin⁡x)(cos⁡x+sin⁡x)\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)
1+sin⁡(2x)=sin⁡2x+cos⁡2x+2sin⁡xcos⁡x=(cos⁡x+sin⁡x)21 + \sin(2x) = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x = (\cos x + \sin x)^2
Pay ve paydadaki ifadeleri sadeleştirebilmek için ortak çarpanlar oluşturulur.
2
Elde edilen ifadeleri oranlayıp sadeleştirelim ve tan⁡x\tan x değerini çekelim.
(cos⁡x−sin⁡x)(cos⁡x+sin⁡x)(cos⁡x+sin⁡x)2=13  ⟹  cos⁡x−sin⁡xcos⁡x+sin⁡x=13\frac{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}{(\cos x + \sin x)^2} = \frac{1}{3} \implies \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} = \frac{1}{3}
3cos⁡x−3sin⁡x=cos⁡x+sin⁡x  ⟹  2cos⁡x=4sin⁡x  ⟹  tan⁡x=123\cos x - 3\sin x = \cos x + \sin x \implies 2\cos x = 4\sin x \implies \tan x = \frac{1}{2}
İçler dışlar çarpımı yapılarak sin⁡x\sin x ile cos⁡x\cos x arasındaki oran bulunur ve bu oran tan⁡x\tan x değerini verir.
3
tan⁡x=1/2\tan x = 1/2 değerini kullanarak cos⁡(2x)\cos(2x) değerini hesaplayalım.
cos⁡(2x)=1−tan⁡2x1+tan⁡2x=1−(1/2)21+(1/2)2=1−1/41+1/4=3/45/4=35=0,6\cos(2x) = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} = \frac{1 - (1/2)^2}{1 + (1/2)^2} = \frac{1 - 1/4}{1 + 1/4} = \frac{3/4}{5/4} = \frac{3}{5} = 0,6
Kosinüs yarım açı formülü tanjant cinsinden yazılarak doğrudan sonuca ulaşılır.

Key Concept

Yarım Açı Formülleri
Question 11Question →
x∈(0,π4)x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere,
cos⁡(3x)cos⁡x+sin⁡(3x)sin⁡x=3\frac{\cos(3x)}{\cos x} + \frac{\sin(3x)}{\sin x} = 3
olduğuna göre, cos⁡(4x)\cos(4x) ifadesinin değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 18\frac{1}{8}

Answer

İfadenin doğru değeri 18\frac{1}{8}'dir.
Verilen denklemde payda eşitlendikten sonra pay kısmında sinüs toplam formülü yardımıyla sin⁡(4x)\sin(4x) ve paydada sinüs yarım açı formülü yardımıyla 12sin⁡(2x)\frac{1}{2}\sin(2x) elde edilir. Bu ifadeler oranlandığında 4cos⁡(2x)=34\cos(2x) = 3 eşitliğinden cos⁡(2x)=34\cos(2x) = \frac{3}{4} bulunur. İstenen cos⁡(4x)\cos(4x) ifadesi kosinüs yarım açı formülüyle açıldığında cos⁡(4x)=2cos⁡2(2x)−1\cos(4x) = 2\cos^2(2x) - 1 olur. Burada cos⁡(2x)\cos(2x) yerine 34\frac{3}{4} yazılarak 18\frac{1}{8} değerine ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Sol taraftaki rasyonel ifadelerin paydalarını eşitleyelim.
cos⁡(3x)sin⁡x+sin⁡(3x)cos⁡xsin⁡xcos⁡x=3\frac{\cos(3x)\sin x + \sin(3x)\cos x}{\sin x \cos x} = 3
İfadeleri tek bir paydada birleştirerek sadeleştirme yapabilmek için.
2
Pay kısmındaki ifadeyi sinüs toplam formülü, payda kısmındaki ifadeyi ise sin��s yarım açı formülü kullanarak düzenleyelim.
cos⁡(3x)sin⁡x+sin⁡(3x)cos⁡x=sin⁡(3x+x)=sin⁡(4x)\cos(3x)\sin x + \sin(3x)\cos x = \sin(3x + x) = \sin(4x)
sin⁡xcos⁡x=12sin⁡(2x)\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)
Buradan,
sin⁡(4x)12sin⁡(2x)=3  ⟹  2sin⁡(4x)sin⁡(2x)=3\frac{\sin(4x)}{\frac{1}{2}\sin(2x)} = 3 \implies \frac{2\sin(4x)}{\sin(2x)} = 3
Trigonometrik ifadeleri daha sade bir forma dönüştürmek için.
3
Paydaki sin⁡(4x)\sin(4x) ifadesine sinüs yarım açı formülünü uygulayarak sadeleştirelim.
sin⁡(4x)=2sin⁡(2x)cos⁡(2x)\sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x)
2⋅2sin⁡(2x)cos⁡(2x)sin⁡(2x)=3  ⟹  4cos⁡(2x)=3  ⟹  cos⁡(2x)=34\frac{2 \cdot 2\sin(2x)\cos(2x)}{\sin(2x)} = 3 \implies 4\cos(2x) = 3 \implies \cos(2x) = \frac{3}{4}
(Burada x∈(0,π/4)x \in (0, \pi/4) olduğundan sin⁡(2x)≠0\sin(2x) \neq 0 olur ve sadeleştirme geçerlidir.)
cos⁡(2x)\cos(2x) değerini yalnız bırakmak için.
4
Bulduğumuz cos⁡(2x)\cos(2x) değerini kullanarak cos⁡(4x)\cos(4x) ifadesini kosinüs yarım açı formülüyle hesaplayalım.
cos⁡(4x)=2cos⁡2(2x)−1\cos(4x) = 2\cos^2(2x) - 1
cos⁡(4x)=2(34)2−1=2(916)−1=98−1=18\cos(4x) = 2\left(\frac{3}{4}\right)^2 - 1 = 2\left(\frac{9}{16}\right) - 1 = \frac{9}{8} - 1 = \frac{1}{8}
Bulunur.
Bizden istenen nihai trigonometrik değeri hesaplamak için.

Key Concept

Trigonometrik ifadelerde toplam-fark ve yarım açı formülleri yardımıyla sadeleştirme yapılması.
Question 12Question →

Bir xx dar açısı için tan⁡x=12\tan x = \frac{1}{2} olduğuna göre, tan⁡(2x)\tan(2x) değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 43\frac{4}{3}

Answer

43\frac{4}{3}
Tanjant iki kat açı formülü olan tan⁡(2x)=2tan⁡x1−tan⁡2x\tan(2x) = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x} ifadesinde tan⁡x=12\tan x = \frac{1}{2} değeri yazıldığında 43\frac{4}{3} sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Tanjant yarım açı (iki kat açı) formülü yazılır.
tan⁡(2x)=2tan⁡x1−tan⁡2x\tan(2x) = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x}
tan⁡x\tan x değeri bilinen bir açının iki katının tanjantını hesaplamak için bu formül kullanılır.
2
Formülde tan⁡x=12\tan x = \frac{1}{2} değeri yerine yazılır.
tan⁡(2x)=2⋅121−(12)2\tan(2x) = \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2}
Verilen sayısal değeri yerine koyarak işlem basitleştirilir.
3
İşlemler tamamlanarak sonuç bulunur.
tan⁡(2x)=11−14=134=43\tan(2x) = \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}
Rasyonel sayılarda bölme işlemi gerçekleştirilir.

Key Concept

Tanjant yarım açı formülü
Estimated Time:1m 0s
Question 13Question →
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
sin⁡4x+cos⁡4x=58\sin^4 x + \cos^4 x = \frac{5}{8}
olduğuna göre, cos⁡(4x)\cos(4x) değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: -0.5

Answer

İfadenin doğru değeri -0.5'tir.
Verilen sin⁡4x+cos⁡4x=58\sin^4 x + \cos^4 x = \frac{5}{8} eşitliği, temel özdeşlikler ve sinüs yarım açı formülü yardımıyla 1−12sin⁡2(2x)=581 - \frac{1}{2}\sin^2(2x) = \frac{5}{8} biçimine dönüştürülür. Buradan sin⁡2(2x)=34\sin^2(2x) = \frac{3}{4} bulunur. İstenen cos⁡(4x)\cos(4x) değeri ise kosinüsün yarım açı formülü olan cos⁡(4x)=1−2sin⁡2(2x)\cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x) eşitliğinde yerine yazılarak 1−2(34)=−0.51 - 2\left(\frac{3}{4}\right) = -0.5 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
sin⁡4x+cos⁡4x\sin^4 x + \cos^4 x ifadesini özdeşlikler yardımıyla düzenlemek
1−2sin⁡2xcos⁡2x1 - 2\sin^2 x \cos^2 x
Trigonometrik özdeşlikleri yarım açı formülleriyle ilişkilendirebilmek için dereceyi düşürmek
2
sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x \cos x formülünü kullanarak ifadeyi tek değişkene indirgemek
1−12sin⁡2(2x)1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)
Sinüsün yarım açı formülünü ifadeye dahil etmek
3
İfadeyi verilen sayısal değere eşitleyerek sin⁡2(2x)\sin^2(2x) değerini yalnız bırakmak
sin⁡2(2x)=34\sin^2(2x) = \frac{3}{4}
cos⁡(4x)\cos(4x) değerine geçiş yaparken kullanılacak olan sin⁡2(2x)\sin^2(2x) değerini belirlemek
4
Kosinüs yarım açı formülünü kullanıp sonucu hesaplamak
−0.5-0.5
cos⁡(4x)\cos(4x) ifadesini sin⁡2(2x)\sin^2(2x) cinsinden yazıp hesaplamayı tamamlamak

Key Concept

Kosinüs ve sinüs fonksiyonlarında yarım/iki kat açı formüllerinin uygulanması ve temel özdeşliklerin kullanımı.
Question 14Question →
x∈(0,π8)x \in \left(0, \frac{\pi}{8}\right) olmak üzere,
1−cos⁡(2x)+sin⁡(2x)1+cos⁡(2x)+sin⁡(2x)+tan⁡(π4−x)=56\frac{1 - \cos(2x) + \sin(2x)}{1 + \cos(2x) + \sin(2x)} + \tan\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = \frac{5}{6}
olduğuna göre, 25⋅cos⁡(4x)25 \cdot \cos(4x) ifadesinin değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 7

Answer

25⋅cos⁡(4x)25 \cdot \cos(4x) ifadesinin değeri 77'dir.
Verilen trigonometrik eşitlik sadeleştirildiğinde tan⁡x\tan x değerinin 1/31/3 olduğu bulunur (1/21/2 kökü tanım aralığının dışındadır). tan⁡x=1/3\tan x = 1/3 değeri kullanılarak yarım açı formülleriyle cos⁡(2x)=4/5\cos(2x) = 4/5 ve cos⁡(4x)=7/25\cos(4x) = 7/25 elde edilir. Bu değer 2525 ile çarpıldığında 77 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
1−cos⁡(2x)+sin⁡(2x)1+cos⁡(2x)+sin⁡(2x)\frac{1 - \cos(2x) + \sin(2x)}{1 + \cos(2x) + \sin(2x)} ifadesini sadeleştirmek için yarım açı formüllerini uygulayalım.
Pay: 1−(1−2sin⁡2x)+2sin⁡xcos⁡x=2sin⁡x(sin⁡x+cos⁡x)1 - (1 - 2\sin^2 x) + 2\sin x\cos x = 2\sin x(\sin x + \cos x)
Payda: 1+(2cos⁡2x−1)+2sin⁡xcos⁡x=2cos⁡x(cos⁡x+sin⁡x)1 + (2\cos^2 x - 1) + 2\sin x\cos x = 2\cos x(\cos x + \sin x)
Oranlandığında ifade tan⁡x\tan x olur.
İfadeyi daha basit bir trigonometrik fonksiyon cinsinden ifade etmek.
2
tan⁡(π4−x)\tan\left(\frac{\pi}{4} - x\right) ifadesini toplam-fark formülü kullanarak açalım.
tan⁡(π4−x)=tan⁡(π/4)−tan⁡x1+tan⁡(π/4)tan⁡x=1−tan⁡x1+tan⁡x\tan\left(\frac{\pi}{4} - x\right) = \frac{\tan(\pi/4) - \tan x}{1 + \tan(\pi/4)\tan x} = \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x}
Tüm terimleri aynı trigonometrik değişken türünden yazmak.
3
tan⁡x=t\tan x = t dönüşümü yaparak denklemi rasyonel formda kuralım ve çözelim.
t+1−t1+t=56  ⟹  t2+1t+1=56  ⟹  6t2−5t+1=0t + \frac{1-t}{1+t} = \frac{5}{6} \implies \frac{t^2+1}{t+1} = \frac{5}{6} \implies 6t^2 - 5t + 1 = 0
Denklemin kökleri (2t−1)(3t−1)=0(2t-1)(3t-1)=0 eşitliğinden t=12t = \frac{1}{2} ve t=13t = \frac{1}{3} olarak bulunur.
Değişken değiştirme yöntemiyle kök değerlerini elde etmek.
4
x∈(0,π8)x \in \left(0, \frac{\pi}{8}\right) tanım aralığına uygun kökü seçelim.
tan⁡(π/8)=2−1≈0.414\tan(\pi/8) = \sqrt{2}-1 \approx 0.414 olduğundan, t=12=0.5t = \frac{1}{2} = 0.5 aralık dışındadır. t=13≈0.333t = \frac{1}{3} \approx 0.333 aralığa uygundur. Buradan tan⁡x=13\tan x = \frac{1}{3} seçilir.
Belirtilen dar açı aralık sınırını sağlayıp sağlamadığını kontrol etmek.
5
tan⁡x=13\tan x = \frac{1}{3} yardımıyla cos⁡(2x)\cos(2x) değerini hesaplayalım.
cos⁡(2x)=1−tan⁡2x1+tan⁡2x=1−1/91+1/9=8/10=45\cos(2x) = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} = \frac{1 - 1/9}{1 + 1/9} = \frac{8/10} = \frac{4}{5}
Yarım açı formülü yardımıyla iki kat açının kosinüsüne geçiş yapmak.
6
cos⁡(4x)\cos(4x) değerini hesaplayıp istenen ifadeyi bulalım.
cos⁡(4x)=2cos⁡2(2x)−1=2(45)2−1=3225−1=725\cos(4x) = 2\cos^2(2x) - 1 = 2\left(\frac{4}{5}\right)^2 - 1 = \frac{32}{25} - 1 = \frac{7}{25} olur. Buradan 25⋅cos⁡(4x)=25⋅725=725 \cdot \cos(4x) = 25 \cdot \frac{7}{25} = 7 bulunur.
Kosinüs yarım açı formülünü tekrar uygulayarak nihai sonucu elde etmek.

Key Concept

Trigonometrik ifadelerde yarım açı ve toplam-fark formüllerinin birlikte kullanımı ile tanım kümesi sınırlamalarına göre kök eleme analizi.
Estimated Time:3m 0s
Question 15Question →
x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,
sin⁡(4x)⋅tan⁡(x)1−cos⁡(2x)=1.2\frac{\sin(4x) \cdot \tan(x)}{1 - \cos(2x)} = 1.2
olduğuna göre, tan⁡2(x)\tan^2(x) değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 0.25

Answer

Doğru cevap 0.25'tir.
Verilen trigonometrik ifade yarım açı formülleri kullanılarak sadeleştirildiğinde 2cos⁡(2x)=1.22\cos(2x) = 1.2 elde edilir. Buradan cos⁡(2x)=0.6\cos(2x) = 0.6 bulunur. cos⁡(2x)=1−tan⁡2(x)1+tan⁡2(x)\cos(2x) = \frac{1-\tan^2(x)}{1+\tan^2(x)} formülü uygulandığında tan⁡2(x)=0.25\tan^2(x) = 0.25 sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
Payda yer alan sin⁡(4x)\sin(4x) ve tan⁡(x)\tan(x) ifadelerine yarım açı ve trigonometrik özdeşlikler uygulanır.
sin⁡(4x)tan⁡(x)=4sin⁡(x)cos⁡(x)cos⁡(2x)⋅sin⁡(x)cos⁡(x)=4sin⁡2(x)cos⁡(2x)\sin(4x)\tan(x) = 4\sin(x)\cos(x)\cos(2x) \cdot \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = 4\sin^2(x)\cos(2x)
Pay kısmını sade bir çarpım durumuna getirmek için yarım açı formüllerinden yararlanılır.
2
Paydada yer alan 1−cos⁡(2x)1 - \cos(2x) terimine cos⁡(2x)=1−2sin⁡2(x)\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) yarım açı formülü uygulanır.
1−cos⁡(2x)=2sin⁡2(x)1 - \cos(2x) = 2\sin^2(x)
Pay kısmındaki sin⁡2(x)\sin^2(x) terimiyle sadeleşebilecek bir ifade elde etmek.
3
Elde edilen sadeleşmiş terimler birbirine oranlanarak verilen sayısal değere eşitlenir.
4sin⁡2(x)cos⁡(2x)2sin⁡2(x)=2cos⁡(2x)=1.2  ⟹  cos⁡(2x)=0.6\frac{4\sin^2(x)\cos(2x)}{2\sin^2(x)} = 2\cos(2x) = 1.2 \implies \cos(2x) = 0.6
Bilinmeyen açının yarım açı değerine ulaşmak.
4
cos⁡(2x)\cos(2x) ile tan⁡2(x)\tan^2(x) arasındaki ilişkiden faydalanılarak tan⁡2(x)\tan^2(x) değeri çekilir.
0.6=1−tan⁡2(x)1+tan⁡2(x)  ⟹  0.6+0.6tan⁡2(x)=1−tan⁡2(x)  ⟹  1.6tan⁡2(x)=0.4  ⟹  tan⁡2(x)=0.250.6 = \frac{1 - \tan^2(x)}{1 + \tan^2(x)} \implies 0.6 + 0.6\tan^2(x) = 1 - \tan^2(x) \implies 1.6\tan^2(x) = 0.4 \implies \tan^2(x) = 0.25
İstenen trigonometrik oranı elde etmek.

Key Concept

Yarım Açı Formülleri

Alternative Method

cos⁡(2x)=0.6\cos(2x) = 0.6 bulunduktan sonra dik üçgen çizilerek 2x2x açısı yerleştirilebilir. Buradan tan⁡(2x)=4/3\tan(2x) = 4/3 bulunur. Daha sonra tan⁡(2x)=2tan⁡(x)1−tan⁡2(x)\tan(2x) = \frac{2\tan(x)}{1-\tan^2(x)} yarım açı formülü kullanılarak da tan⁡(x)\tan(x) ve oradan tan⁡2(x)=0.25\tan^2(x) = 0.25 değerine ulaşılabilir.
Estimated Time:2m 30s
Question 16Question →
x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,
sin⁡x=35\sin x = \frac{3}{5}
olduğuna göre, cos⁡(2x)\cos(2x) ifadesinin değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 725\frac{7}{25}

Answer

Yedi b��lü yirmi beş
Kosinüs yarım açı formüllerinden biri cos⁡(2x)=1−2sin⁡2x\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x şeklindedir. Verilen sin⁡x=35\sin x = \frac{3}{5} değeri bu formüle yazıldığında, 1−2(35)2=1−1825=7251 - 2\left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{18}{25} = \frac{7}{25} sonucu elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Kosinüsün bilinen sinüs değerini kullanan yarım açı formülünü seçme.
cos⁡(2x)=1−2sin⁡2x\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x
Verilen sin⁡x\sin x değerini doğrudan kullanabilmek için bu yarım açı formülü tercih edilir.
2
Soruda verilen sin⁡x=35\sin x = \frac{3}{5} değerini formülde yerine yazma.
cos⁡(2x)=1−2(35)2\cos(2x) = 1 - 2\left(\frac{3}{5}\right)^2
Bilinenden bilinmeyene ulaşmak için sayısal değer yerine yerleştirilir.
3
Üslü işlemi yapıp rasyonel çıkarma işlemini tamamlama.
cos⁡(2x)=1−2⋅925=1−1825=725\cos(2x) = 1 - 2 \cdot \frac{9}{25} = 1 - \frac{18}{25} = \frac{7}{25}
Dört işlem basamakları uygulanarak sonuca ulaşılır.

Key Concept

Kosinüs yarım açı formüllerini kullanarak bilinen bir trigonometrik değerden çift açının kosinüs değerini hesaplama.

Alternative Method

Verilen sin⁡x=35\sin x = \frac{3}{5} değerine uygun bir dik üçgen çizilerek komşu dik kenar 44 bulunur ve cos⁡x=45\cos x = \frac{4}{5} elde edilir. Ardından cos⁡(2x)=cos⁡2x−sin⁡2x\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x formülü kullanılarak (45)2−(35)2=1625−925=725\left(\frac{4}{5}\right)^2 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25} bulunur.
Estimated Time:1m 30s
Question 17Question →
x∈(0,π2)x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) olmak üzere,
sin⁡x=55\sin x = \frac{\sqrt{5}}{5}
olduğuna göre, cos⁡(2x)\cos(2x) değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 0.6

Answer

Doğru cevap 0.6'dır.
Verilen sin⁡x\sin x değerinin karesi alınarak sin⁡2x=0.2\sin^2 x = 0.2 bulunur. cos⁡(2x)=1−2sin⁡2x\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x yarım açı formülünde bu değer yerine yazıldığında doğru sonuç 0.6 olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen sin⁡x\sin x değerini kullanarak sin⁡2x\sin^2 x ifadesini hesaplayın.
sin⁡2x=(55)2=525=0.2\sin^2 x = \left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^2 = \frac{5}{25} = 0.2
Kosinüsün yarım açı formülünde sin⁡2x\sin^2 x terimi yer almaktadır.
2
Kosinüs yarım açı formülü olan cos⁡(2x)=1−2sin⁡2x\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x eşitliğini uygulayın.
cos⁡(2x)=1−2(0.2)=1−0.4=0.6\cos(2x) = 1 - 2(0.2) = 1 - 0.4 = 0.6
cos⁡(2x)\cos(2x) ifadesinin değerini doğrudan sin⁡x\sin x cinsinden bulmak için bu yarım açı formülü tercih edilir.

Key Concept

Kosinüs Yarım Açı Formülü
Question 18Question →
x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere,
1−cos⁡(2x)+sin⁡(2x)1+cos⁡(2x)+sin⁡(2x)=12\frac{1 - \cos(2x) + \sin(2x)}{1 + \cos(2x) + \sin(2x)} = \frac{1}{2}
olduğuna göre, cos⁡x\cos x değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: −255-\frac{2\sqrt{5}}{5}

Answer

Kosinüs değerinin eksi iki kök beş bölü beş olması
Verilen trigonometrik ifade yarım açı formülleri kullanılarak sadeleştirildiğinde tanjant değeri bir bölü iki olarak bulunur. Açının üçüncü bölgede yer aldığı belirtildiğinden, bu bölgedeki kosinüs değerinin işareti negatif olmalıdır. Karşı kenarı bir, komşu kenarı iki olan dik üçgende hipotenüs kök beş birimdir. Kosinüs tanımı gereği komşu bölü hipotenüsten değer eksi iki kök beş bölü beş olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Yarım a��ı formüllerini kullanarak pay ve paydadaki sabit sayıları sadeleştirelim.
cos⁡(2x)=1−2sin⁡2x\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x ve cos⁡(2x)=2cos⁡2x−1\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1 formüllerini kullanalım. Ayrıca sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x \cos x yazalım.
Pay kısmı: 1−(1−2sin⁡2x)+2sin⁡xcos⁡x=2sin⁡2x+2sin⁡xcos⁡x1 - (1 - 2\sin^2 x) + 2\sin x \cos x = 2\sin^2 x + 2\sin x \cos x
Payda kısmı: 1+(2cos⁡2x−1)+2sin⁡xcos⁡x=2cos⁡2x+2sin⁡xcos⁡x1 + (2\cos^2 x - 1) + 2\sin x \cos x = 2\cos^2 x + 2\sin x \cos x halini alır.
İfadeleri ortak çarpan parantezine alarak sadeleştirmeye uygun hale getirmek.
2
Elde edilen kesirli ifadeyi ortak paranteze alıp sadeleştirelim ve verilen değere eşitleyelim.
2sin⁡x(sin⁡x+cos⁡x)2cos⁡x(cos⁡x+sin⁡x)=sin⁡xcos⁡x=tan⁡x\frac{2\sin x(\sin x + \cos x)}{2\cos x(\cos x + \sin x)} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x
Buradan, tan⁡x=12\tan x = \frac{1}{2} elde edilir.
İfadenin en sade halini bularak trigonometrik oranlardan birine ulaşmak.
3
Açının bölgesini dikkate alarak dik üçgen yardımıyla kosinüs değerini bulalım.
x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olduğundan açı üçüncü bölgededir. Üçüncü bölgede kosinüs fonksiyonunun işareti negatiftir.
Karşı kenarı 1, komşu kenarı 2 olan bir dik üçgende hipotenüs 12+22=5\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} olur.
Bu durumda, cos⁡x=−Koms¸uHipotenu¨s=−25=−255\cos x = -\frac{\text{Komşu}}{\text{Hipotenüs}} = -\frac{2}{\sqrt{5}} = -\frac{2\sqrt{5}}{5} bulunur.
Tanjant değerinden yararlanıp uygun bölge işareti ile kosinüs oranını hesaplamak.

Key Concept

Yarım Açı Formülleri
Question 19Question →
x∈(π2,π)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)

olmak üzere,

sin⁡x+cos⁡x=15\sin x + \cos x = \frac{1}{5}

olduğuna göre, cos⁡(2x)\cos(2x) değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: −725-\frac{7}{25}

Answer

−725-\frac{7}{25}
Verilen toplamın karesi alınarak sin⁡(2x)=−24/25\sin(2x) = -24/25 bulunur. Ardından cos⁡2(2x)+sin⁡2(2x)=1\cos^2(2x) + \sin^2(2x) = 1 özdeşliğinden cos⁡(2x)=±7/25\cos(2x) = \pm 7/25 elde edilir. xx açısının ikinci bölgede olması ve toplamlarının pozitif olması nedeniyle x<3π/4x < 3\pi/4 olduğu anlaşılır. Böylece 2x2x açısı üçüncü bölgede yer alır ve bu bölgede kosinüs negatif olduğundan doğru cevap −725-\frac{7}{25} olur.

Step-by-Step Solution

1
Verilen ifadenin her iki tarafının karesini alarak sin⁡(2x)\sin(2x) değerini bulunuz.
(sin⁡x+cos⁡x)2=(15)2(\sin x + \cos x)^2 = \left(\frac{1}{5}\right)^2

sin⁡2x+2sin⁡xcos⁡x+cos⁡2x=125\sin^2 x + 2\sin x\cos x + \cos^2 x = \frac{1}{25}

1+sin⁡(2x)=125  ⟹  sin⁡(2x)=−24251 + \sin(2x) = \frac{1}{25} \implies \sin(2x) = -\frac{24}{25}
sin⁡(2x)\sin(2x) yarım açı formülünü elde etmek ve diğer trigonometrik fonksiyon değerlerine geçiş yapmak için.
2
sin⁡2(2x)+cos⁡2(2x)=1\sin^2(2x) + \cos^2(2x) = 1 özdeşliğini kullanarak cos⁡(2x)\cos(2x) değerinin mutlak değerini bulunuz.
cos⁡2(2x)=1−sin⁡2(2x)\cos^2(2x) = 1 - \sin^2(2x)

cos⁡2(2x)=1−(−2425)2=1−576625=49625\cos^2(2x) = 1 - \left(-\frac{24}{25}\right)^2 = 1 - \frac{576}{625} = \frac{49}{625}

∣cos⁡(2x)∣=725|\cos(2x)| = \frac{7}{25}
Kosinüs yarım açı değerinin sayısal büyüklüğünü belirlemek için.
3
Açının tanım aralığını kullanarak cos⁡(2x)\cos(2x) değerinin işaretini belirleyiniz ve sonucu yazınız.
x∈(π2,π)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) aralığında sin⁡x>0\sin x > 0 ve cos⁡x<0\cos x < 0 dır.

sin⁡x+cos⁡x=15>0  ⟹  sin⁡x>∣cos⁡x∣\sin x + \cos x = \frac{1}{5} > 0 \implies \sin x > |\cos x|

Bu durum, xx açısının ikinci bölgenin ilk yarısında yani x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığında olduğunu gösterir.

Buradan, ikiyle çarptığımızda 2x∈(π,3π2)2x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) elde edilir. Üçüncü bölgede kosinüs fonksiyonu negatif olduğundan:

cos⁡(2x)=−725\cos(2x) = -\frac{7}{25}
Doğru işareti tespit edip kesin sonuca ulaşmak için.

Key Concept

Kosinüs ve Sinüs Yarım Açı Formülleri ile Trigonometrik Bölge İşaret Analizi
Question 20Question →
θ∈(π2,3π4)\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) olmak üzere,
1−sin⁡(2θ)−1+sin⁡(2θ)=65\sqrt{1 - \sin(2\theta)} - \sqrt{1 + \sin(2\theta)} = \frac{6}{5}
olduğuna göre, sin⁡(4θ)\sin(4\theta) ifadesinin değeri kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 336625\frac{336}{625}

Answer

Üç yüz otuz altı bölü altı yüz yirmi beş
Kareköklü ifadelerin tam kareye açılımı yapılıp verilen bölgede sin⁡θ−cos⁡θ>0\sin\theta - \cos\theta > 0 ve sin⁡θ+cos⁡θ>0\sin\theta + \cos\theta > 0 olduğu tespit edilerek mutlak değerden doğru çıkarıldığında cos⁡θ=−35\cos\theta = -\frac{3}{5} bulunur. Buradan iki kez yarım açı formülü uygulanarak ulaşılan üç yüz otuz altı bölü altı yüz yirmi beş değeri doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
Kareköklü ifadelerin içini tam kare formuna dönüştürün.
1−sin⁡(2θ)=sin⁡2θ−2sin⁡θcos⁡θ+cos⁡2θ=(sin⁡θ−cos⁡θ)21 - \sin(2\theta) = \sin^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = (\sin\theta - \cos\theta)^2 ve 1+sin⁡(2θ)=sin⁡2θ+2sin⁡θcos⁡θ+cos⁡2θ=(sin⁡θ+cos⁡θ)21 + \sin(2\theta) = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = (\sin\theta + \cos\theta)^2 elde edilir. Buradan ifade (sinθ−cos⁡θ)2−(sin⁡θ+cos⁡θ)2=65\sqrt{(\\sin\theta - \cos\theta)^2} - \sqrt{(\sin\theta + \cos\theta)^2} = \frac{6}{5} halini alır.
1=sin⁡2θ+cos⁡2θ1 = \sin^2\theta + \cos^2\theta özdeşliği ve sinüs yarım açı formülü olan sin⁡(2θ)=2sin⁡θcos⁡θ\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta kullanılarak ifadeler düzenlenir.
2
Açının bulunduğu aralığı dikkate alarak ifadeleri mutlak değer dışına çıkarın.
θ∈(π2,3π4)\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığında sin⁡θ>0\sin\theta > 0 ve cos⁡θ<0\cos\theta < 0 olduğundan sin⁡θ−cos⁡θ>0\sin\theta - \cos\theta > 0 olur ve mutlak değer dışına aynen çıkar: sin⁡θ−cos⁡θ\sin\theta - \cos\theta. Aynı aralıkta sin⁡θ>∣cos⁡θ∣\sin\theta > |\cos\theta| olduğundan sin⁡θ+cos⁡θ>0\sin\theta + \cos\theta > 0 olur ve dışarı aynen çıkar: sin⁡θ+cos⁡θ\sin\theta + \cos\theta.
Kareköklü ifadelerin derecesi çift olduğundan dışarıya mutlak değer içinde çıkarlar ve işaret analizi yapılması gerekir.
3
Denklemi sadeleştirip cos⁡θ\cos\theta değerini çekin.
(sin⁡θ−cos⁡θ)−(sin⁡θ+cos⁡θ)=65  ⟹  −2cos⁡θ=65  ⟹  cos⁡θ=−35(\sin\theta - \cos\theta) - (\sin\theta + \cos\theta) = \frac{6}{5} \implies -2\cos\theta = \frac{6}{5} \implies \cos\theta = -\frac{3}{5} bulunur.
Mutlak değerden çıkarılan terimler denklemde yerine yazılarak sin⁡θ\sin\theta terimleri sadeleştirilir.
4
sin⁡θ\sin\theta değerini hesaplayın.
θ\theta ikinci bölgede olduğundan sinüs değeri pozitiftir. Dik üçgen yardımıyla veya sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 özdeşliğinden sin⁡θ=45\sin\theta = \frac{4}{5} bulunur.
2θ2\theta açısının yarım açı açılımı için hem sinüs hem de kosinüs değerlerine ihtiyaç vardır.
5
2θ2\theta açısının trigonometrik değerlerini yarım açı formülleriyle hesaplayın.
sin⁡(2θ)=2sin⁡θcos⁡θ=2⋅(45)⋅(−35)=−2425\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta = 2 \cdot \left(\frac{4}{5}\right) \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{24}{25} ve cos⁡(2θ)=2cos⁡2θ−1=2⋅(−35)2−1=−725\cos(2\theta) = 2\cos^2\theta - 1 = 2 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right)^2 - 1 = -\frac{7}{25} bulunur.
sin⁡(4θ)\sin(4\theta) değerini hesaplamak için sin⁡(2θ)\sin(2\theta) ve cos⁡(2θ)\cos(2\theta) değerleri gereklidir.
6
sin⁡(4θ)\sin(4\theta) değerini bulmak için yarım açı formülünü tekrar uygulayın.
sin⁡(4θ)=2sin⁡(2θ)cos⁡(2θ)=2⋅(−2425)⋅(−725)=336625\sin(4\theta) = 2\sin(2\theta)\cos(2\theta) = 2 \cdot \left(-\frac{24}{25}\right) \cdot \left(-\frac{7}{25}\right) = \frac{336}{625} elde edilir.
4θ4\theta açısı 2θ2\theta cinsinden yazılıp sinüs yarım açı açılımı uygulanır.

Key Concept

Kareköklü trigonometrik ifadelerin sınır değerlerine göre mutlak değer dışına çıkarılması ve ardışık yarım açı formüllerinin uygulanması.
Page 1 / 4Next
Yarım Açı Formülleri Practice Questions — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin