Examkin

Question

Difficulty: MediumYarım Açı Formülleri
x∈(π,5π4)x \in \left(\pi, \frac{5\pi}{4}\right) olmak üzere,
cot⁡x−tan⁡x=3\cot x - \tan x = 3
olduğuna göre, 26⋅sin⁡(4x)26 \cdot \sin(4x) ifadesinin de��eri kaçtır?

Answer: 24

Answer

İstenen ifadenin değeri 24 olarak bulunur.
Verilen denklem cot⁡x−tan⁡x=2cot⁡(2x)=3\cot x - \tan x = 2\cot(2x) = 3 şeklinde yarım açı formülüne dönüştürüldüğünde tan⁡(2x)=2/3\tan(2x) = 2/3 elde edilir. İlgili dik üçgenden ve bölge analizinden yararlanılarak sin⁡(2x)=2/13\sin(2x) = 2/\sqrt{13} ve cos⁡(2x)=3/13\cos(2x) = 3/\sqrt{13} bulunur. Son olarak sin⁡(4x)=2sin⁡(2x)cos⁡(2x)=12/13\sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x) = 12/13 değeri hesaplanır ve bu değer 26 ile çarpılarak 24 cevabına ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
cot⁡x−tan⁡x=3\cot x - \tan x = 3 eşitliğini yarım açı formülleri yardımıyla tan⁡(2x)\tan(2x) ifadesine dönüştürmek.
tan⁡(2x)=23\tan(2x) = \frac{2}{3} olarak bulunur.
Verilen ifadeyi yarım açı ilişkisini kullanabileceğimiz daha sade bir trigonometrik fonksiyona indirgemek.
2
2x2x açısının bölgesini belirleyerek sin⁡(2x)\sin(2x) ve cos⁡(2x)\cos(2x) değerlerini hesaplamak.
sin⁡(2x)=213\sin(2x) = \frac{2}{\sqrt{13}} ve cos⁡(2x)=313\cos(2x) = \frac{3}{\sqrt{13}} olarak elde edilir.
sin⁡(4x)\sin(4x) ifadesini açtığımızda karşımıza çıkacak olan sin⁡(2x)\sin(2x) ve cos⁡(2x)\cos(2x) değerlerini elde etmek.
3
sin⁡(4x)=2sin⁡(2x)cos⁡(2x)\sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x) yarım açı formülünü uygulamak ve 26⋅sin⁡(4x)26 \cdot \sin(4x) değerini hesaplamak.
26⋅sin⁡(4x)=2426 \cdot \sin(4x) = 24 olarak bulunur.
Soruda sorulan ifadenin nihai sayısal değerine ulaşmak.

Key Concept

Trigonometrik ifadelerde yarım açı formüllerinin (sinüs ve kosinüs çift kat açı formülleri) uygulanması ve bölge analizine göre işaret tayini.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Yarım Açı Formülleri

More questions from this topic