Examkin

Question

Difficulty: Very hardYarım Açı Formülleri
θ∈(5π8,3π4)\theta \in \left(\frac{5\pi}{8}, \frac{3\pi}{4}\right) olmak üzere,
cos⁡4θ−sin⁡4θsin⁡(2θ)−tan⁡(2θ)=−712\frac{\cos^4\theta - \sin^4\theta}{\sin(2\theta)} - \tan(2\theta) = -\frac{7}{12}
olduğuna göre, cos⁡θ\cos\theta değeri kaçtır?
  1. A
    −255-\frac{2\sqrt{5}}{5}
  2. B
    −31010-\frac{3\sqrt{10}}{10}
  3. −55-\frac{\sqrt{5}}{5}Answer
  4. D
    −1010-\frac{\sqrt{10}}{10}
  5. E
    55\frac{\sqrt{5}}{5}

Answer

Soru kökündeki ifadenin sadeleştirilmesiyle tan⁡θ=−2\tan\theta = -2 elde edilir. İkinci bölgede kosinüs negatif değer aldığından dik üçgen yardımıyla cos⁡θ=−55\cos\theta = -\frac{\sqrt{5}}{5} olarak bulunur.
Verilen aralıkta trigonometrik fonksiyonların işaretleri doğru belirlenip yarım açı formülleri ardışık olarak uygulandığında tanjant değeri tan⁡θ=−2\tan\theta = -2 olarak bulunur. İkinci bölgede kosinüs fonksiyonu negatif değer aldığından, dik üçgen bağıntısından cos⁡θ=−55\cos\theta = -\frac{\sqrt{5}}{5} değerine ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
İfadenin sol tarafındaki pay kısmını iki kare farkı özdeşliğini kullanarak sadeleştirin.
cos⁡4θ−sin⁡4θ=(cos⁡2θ−sin⁡2θ)(cos⁡2θ+sin⁡2θ)=cos⁡(2θ)\cos^4\theta - \sin^4\theta = (\cos^2\theta - \sin^2\theta)(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = \cos(2\theta)
Pay kısmını çarpanlarına ayırıp yarım açı formüllerini uygulayarak ifadeyi basitleştirmek için.
2
Bulunan sonucu denklemde yerine yazıp ifadeyi cot(2θ) ve tan(2θ) cinsinden düzenleyin.
cos⁡(2θ)sin⁡(2θ)−tan⁡(2θ)=cot⁡(2θ)−tan⁡(2θ)\frac{\cos(2\theta)}{\sin(2\theta)} - \tan(2\theta) = \cot(2\theta) - \tan(2\theta)
Yarım açı formüllerini daha kolay uygulamak için terimleri trigonometrik oranlar cinsinden yazmak.
3
cot(2θ) - tan(2θ) ifadesini tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden yazın.
cot⁡(2θ)−tan⁡(2θ)=cos⁡(2θ)sin⁡(2θ)−sin⁡(2θ)cos⁡(2θ)=cos⁡2(2θ)−sin⁡2(2θ)sin⁡(2θ)cos⁡(2θ)=cos⁡(4θ)12sin⁡(4θ)=2cot⁡(4θ)\cot(2\theta) - \tan(2\theta) = \frac{\cos(2\theta)}{\sin(2\theta)} - \frac{\sin(2\theta)}{\cos(2\theta)} = \frac{\cos^2(2\theta) - \sin^2(2\theta)}{\sin(2\theta)\cos(2\theta)} = \frac{\cos(4\theta)}{\frac{1}{2}\sin(4\theta)} = 2\cot(4\theta)
Denklemi tek bir açı cinsinden çözebilmek amacıyla yarım açı formülünü tersine uygulamak.
4
Elde edilen 2cot(4θ) ifadesini verilen değere eşitleyip tan(4θ) değerini bulun.
2cot⁡(4θ)=−712  ⟹  cot⁡(4θ)=−724  ⟹  tan⁡(4θ)=−2472\cot(4\theta) = -\frac{7}{12} \implies \cot(4\theta) = -\frac{7}{24} \implies \tan(4\theta) = -\frac{24}{7}
Bir sonraki adımda tan(2θ) değerini bulabilmek için tan(4θ) değerini elde etmek.
5
tan(2θ) değerini bulmak için tan(4θ) yarım açı formülünü kullanın ve verilen aralığa göre işaretini belirleyin.
θ∈(5π8,3π4)  ⟹  2θ∈(5π4,3π2)\theta \in \left(\frac{5\pi}{8}, \frac{3\pi}{4}\right) \implies 2\theta \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) (3. bölge). 3. bölgede tanjant pozitif olduğundan tan⁡(2θ)>0\tan(2\theta) > 0 olmalıdır. tan⁡(4θ)=2tan⁡(2θ)1−tan⁡2(2θ)  ⟹  −247=2t1−t2  ⟹  12t2−7t−12=0  ⟹  (3t−4)(4t+3)=0  ⟹  tan⁡(2θ)=43\tan(4\theta) = \frac{2\tan(2\theta)}{1 - \tan^2(2\theta)} \implies -\frac{24}{7} = \frac{2t}{1-t^2} \implies 12t^2 - 7t - 12 = 0 \implies (3t-4)(4t+3) = 0 \implies \tan(2\theta) = \frac{4}{3}
Açının bulunduğu bölgeyi analiz ederek doğru tan(2θ) değerini seçmek.
6
tan(2θ) değerinden yararlanarak tanθ değerini bulun ve θ açısının bölgesine göre işaretini belirleyin.
θ∈(5π8,3π4)\theta \in \left(\frac{5\pi}{8}, \frac{3\pi}{4}\right) (2. bölge). 2. bölgede tanjant negatif olduğundan tan⁡θ<0\tan\theta < 0 olmalıdır. tan⁡(2θ)=2tan⁡θ1−tan⁡2θ  ⟹  43=2u1−u2  ⟹  2u2+3u−2=0  ⟹  (2u−1)(u+2)=0  ⟹  tan⁡θ=−2\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} \implies \frac{4}{3} = \frac{2u}{1-u^2} \implies 2u^2 + 3u - 2 = 0 \implies (2u-1)(u+2) = 0 \implies \tan\theta = -2
θ açısının bölgesini dikkate alarak tanθ değerini doğru şekilde hesaplamak.
7
tanθ değerinden yola çıkarak dik üçgen yardımıyla cosθ değerini bulun.
tan⁡θ=−2\tan\theta = -2 ve θ\theta 2. bölgede olduğundan cos⁡θ\cos\theta negatif değer alır. Kenarları 2 ve 1 olan dik üçgende hipotenüs 5\sqrt{5} birimdir. Buradan cos⁡θ=−15=−55\cos\theta = -\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5} elde edilir.
Tanjant değerini kosinüs değerine dönüştürmek ve bölgeye göre doğru işareti atamak.

Key Concept

Yarım Açı Formülleri
Rate this question

Topics

Yarım Açı Formülleri

More questions from this topic