Examkin

Question

Difficulty: MediumÜstel ve Logaritmik Eşitsizlikler
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
log⁡2(x−2)<log⁡12(x−4)+4\log_2(x - 2) < \log_{\frac{1}{2}}(x - 4) + 4
eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?

Answer: 18

Answer

Eşitsizliği sağlayan xx tam sayılarının toplamı 18'dir.
Logaritma tanımlarından gelen x>4x > 4 kısıtlaması ile eşitsizlik çözümü olan x<3+17x < 3 + \sqrt{17} aralığının kesişimi (4,3+17)(4, 3 + \sqrt{17}) aralığını verir. Bu aralıkta bulunan tam sayılar 5,6,75, 6, 7 olup toplamları 18'dir.

Step-by-Step Solution

1
Tanım kümesini belirlemek
Tanım kümesi: x>4x > 4
Logaritma tanımı gereği logaritması alınan ifadeler pozitif olmalıdır. x−2>0x - 2 > 0 ve x−4>0x - 4 > 0 eşitsizliklerinin kesişimi alınır.
2
Logaritma tabanlarını eşitlemek ve düzenlemek
log⁡2((x−2)(x−4))<4\log_2((x - 2)(x - 4)) < 4
log⁡12(a)=−log⁡2(a)\log_{\frac{1}{2}}(a) = -\log_2(a) dönüşümü yapılıp logaritma toplam özelliği yardımıyla ifadeler tek bir logaritma altında çarpım olarak yazılır.
3
Logaritmayı kaldırmak ve cebirsel eşitsizliği elde etmek
x2−6x−8<0x^2 - 6x - 8 < 0
Taban 1'den büyük olduğu için eşitsizlik yön değiştirmeden logaritmadan çıkarılır ve elde edilen ikinci dereceden ifade düzenlenir.
4
Cebirsel eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak
x∈(3−17,3+17)x \in (3 - \sqrt{17}, 3 + \sqrt{17})
x2−6x−8=0x^2 - 6x - 8 = 0 denkleminin kökleri 3±173 \pm \sqrt{17} olarak bulunur ve baş katsayı pozitif olduğu için kökler arası bölge negatif işaretlidir.
5
Tanım kümesiyle kesiştirip tam sayı çözümlerinin toplamını bulmak
5+6+7=185 + 6 + 7 = 18
x>4x > 4 koşulu altında (4,3+17)(4, 3 + \sqrt{17}) aralığı elde edilir. 17≈4,12\sqrt{17} \approx 4,12 olduğundan aralıktaki tam sayılar 5,6,75, 6, 7 olur.

Key Concept

Logaritmik eşitsizliklerde taban 1'den küçük olduğunda dönüşüm yaparken işaret değişimlerine dikkat edilmesi ve tanım kümesi sınırlarının her aşamada kontrol edilmesi.
Rate this question

Topics

Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler

More questions from this topic