Examkin

Question

Difficulty: Very hardTrigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi
x,y∈(0,π2)x, y \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) ve x>yx > y olmak üzere,
sin⁡(x−3π)⋅cos⁡(y−7π2)−cos⁡(5π−x)⋅sin⁡(9π2+y)=32\sin(x - 3\pi) \cdot \cos\left(y - \frac{7\pi}{2}\right) - \cos(5\pi - x) \cdot \sin\left(\frac{9\pi}{2} + y\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}
tan⁡(11π2−(x+y))=33\tan\left(\frac{11\pi}{2} - (x + y)\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,

cos⁡(5x+9y−29π4)\cos\left(5x + 9y - \frac{29\pi}{4}\right)

ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

  1. −22-\frac{\sqrt{2}}{2}Answer
  2. B
    −32-\frac{\sqrt{3}}{2}
  3. C
    22\frac{\sqrt{2}}{2}
  4. D
    32\frac{\sqrt{3}}{2}
  5. E
    −12-\frac{1}{2}

Answer

−22-\frac{\sqrt{2}}{2}
Verilen iki trigonometrik denklem indirgeme formülleriyle sadeleştirildiğinde, x−y=π6x - y = \frac{\pi}{6} ve x+y=π3x + y = \frac{\pi}{3} doğrusal denklem sistemi elde edilir. Bu sistem çözüldüğünde x=π4x = \frac{\pi}{4} ve y=π12y = \frac{\pi}{12} değerlerine ulaşılır. Bu değerler sorulan cos⁡(5x+9y−29π4)\cos\left(5x + 9y - \frac{29\pi}{4}\right) ifadesinde yerine yazıldığında, açı 2π−29π4=−21π42\pi - \frac{29\pi}{4} = -\frac{21\pi}{4} olur. Kosinüs fonksiyonunun çift fonksiyon olmasından dolayı bu ifade cos⁡(21π4)\cos\left(\frac{21\pi}{4}\right) değerine eşittir. Bu açının esas ölçüsü 5π4\frac{5\pi}{4} olup, üçüncü bölgede kosinüsün işareti negatif olduğundan sonuç −cos⁡(π4)=−22-\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Birinci denklemde verilen trigonometrik ifadeleri bölgelere göre indirgeyerek sadeleştirin.
sin⁡(x−3π)=−sin⁡(3π−x)=−sin⁡(π−x)=−sin⁡(x)\sin(x - 3\pi) = -\sin(3\pi - x) = -\sin(\pi - x) = -\sin(x)

cos⁡(y−7π2)=cos⁡(7π2−y)=−sin⁡(y)\cos\left(y - \frac{7\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{7\pi}{2} - y\right) = -\sin(y)

cos⁡(5π−x)=cos⁡(π−x)=−cos⁡(x)\cos(5\pi - x) = \cos(\pi - x) = -\cos(x)

sin⁡(9π2+y)=sin⁡(π2+y)=cos⁡(y)\sin\left(\frac{9\pi}{2} + y\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + y\right) = \cos(y)

Bu değerler denklemde yerine yazıldığında:

(−sin⁡(x))⋅(−sin⁡(y))−(−cos⁡(x))⋅cos⁡(y)=sin⁡(x)sin⁡(y)+cos⁡(x)cos⁡(y)=cos⁡(x−y)=32(-\sin(x)) \cdot (-\sin(y)) - (-\cos(x)) \cdot \cos(y) = \sin(x)\sin(y) + \cos(x)\cos(y) = \cos(x - y) = \frac{\sqrt{3}}{2} elde edilir.
Negatif ve büyük açıları indirgeme formülleriyle basitleştirip toplam-fark formülüne ulaştırmak için.
2
İkinci denklemdeki tanjant ifadesini indirgeme formülüyle sadeleştirin.
tan⁡(11π2−(x+y))=tan⁡(3π2−(x+y))=cot⁡(x+y)=33\tan\left(\frac{11\pi}{2} - (x + y)\right) = \tan\left(\frac{3\pi}{2} - (x + y)\right) = \cot(x + y) = \frac{\sqrt{3}}{3} elde edilir.
Açıyı 3π2\frac{3\pi}{2} katı cinsinden yazarak fonksiyon adını değiştirmek ve sade bir ifadeye ulaşmak için.
3
xx ve yy değerlerinin dar açı olması ve x>yx > y koşulunu kullanarak elde edilen doğrusal denklem sistemini çözün.
cos⁡(x−y)=32  ⟹  x−y=π6\cos(x - y) = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies x - y = \frac{\pi}{6}

cot⁡(x+y)=33  ⟹  x+y=π3\cot(x + y) = \frac{\sqrt{3}}{3} \implies x + y = \frac{\pi}{3}

Bu iki denklem taraf tarafa toplandığında 2x=π2  ⟹  x=π42x = \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{\pi}{4} ve y=π12y = \frac{\pi}{12} bulunur.
xx ve yy bilinmeyenlerini tek tek bularak hedef ifadede yerine koyabilmek için.
4
Bulunan xx ve yy değerlerini hedef kosinüs ifadesinde yerine yazarak sonucu hesaplayın.
5x+9y=5(π4)+9(π12)=5π4+3π4=2π5x + 9y = 5\left(\frac{\pi}{4}\right) + 9\left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{5\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = 2\pi

Buradan hedef ifade:

cos⁡(2π−29π4)=cos⁡(−21π4)=cos⁡(21π4)\cos\left(2\pi - \frac{29\pi}{4}\right) = \cos\left(-\frac{21\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{21\pi}{4}\right)

Esas ölçü alındığında:

21π4=4π+5π4  ⟹  cos⁡(21π4)=cos⁡(5π4)=cos⁡(π+π4)=−cos⁡(π4)=−22\frac{21\pi}{4} = 4\pi + \frac{5\pi}{4} \implies \cos\left(\frac{21\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} bulunur.
Bulunan açıları yerine koyup esas ölçü ve bölge indirgeme kuralları ile nihai sonuca ulaşmak için.

Key Concept

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

More questions from this topic