Examkin

Question

Difficulty: MediumYarım Açı Formülleri
x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere,
sin⁡(2x)1+cos⁡(2x)=512\frac{\sin(2x)}{1 + \cos(2x)} = \frac{5}{12}

olduğuna göre, cos⁡x\cos x değeri kaçtır?

  1. A
    −125-\frac{12}{5}
  2. −1213-\frac{12}{13}Answer
  3. C
    −513-\frac{5}{13}
  4. D
    513\frac{5}{13}
  5. E
    1213\frac{12}{13}

Answer

Negatif on iki bölü on üç
Verilen ifade yarım açı formülleriyle sadeleştirildiğinde tan⁡x=512\tan x = \frac{5}{12} bulunur. xx açısı üçüncü bölgede yer aldığı için kosinüsün işareti negatiftir. Karşı dik kenarı 5, komşu dik kenarı 12 olan dik üçgenden komşu/hipotenüs oranı yardımıyla cos⁡x=−1213\cos x = -\frac{12}{13} elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Verilen kesirli ifadeyi yarım açı formülleri kullanarak sadeleştirin.
2sin⁡xcos⁡x1+(2cos⁡2x−1)=2sin⁡xcos⁡x2cos⁡2x=tan⁡x=512\frac{2\sin x \cos x}{1 + (2\cos^2 x - 1)} = \frac{2\sin x \cos x}{2\cos^2 x} = \tan x = \frac{5}{12}
Payda kısmındaki 1 sayısını sadeleştirmek için cos⁡(2x)=2cos⁡2x−1\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1 formülü, pay kısmında ise sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x \cos x formülü kullanılmıştır.
2
Açının bulunduğu bölgeye göre trigonometrik değerlerin işaretlerini belirleyin.
x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olduğundan açımız ��çüncü bölgededir. Bu bölgede sin⁡x<0\sin x < 0 ve cos⁡x<0\cos x < 0 değerlerini alır.
Birim çember üzerindeki bölgelerde trigonometrik fonksiyonların işaretlerinin doğru tespit edilmesi gerekmektedir.
3
Dik üçgen yardımıyla cos⁡x\cos x değerini hesaplayın.
cos⁡x=−1213\cos x = -\frac{12}{13}
tan⁡x=512\tan x = \frac{5}{12} oranına uygun çizilen dik üçgende karşı kenar 5, komşu kenar 12 ve hipotenüs 13'tür. Üçüncü bölgede kosinüs negatif olduğundan sonuç eksi işaretli olmalıdır.

Key Concept

Trigonometrik yarım açı formüllerinin uygulanması ve bölgelere göre işaret analizi
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Yarım Açı Formülleri

More questions from this topic