Examkin

Question

Difficulty: MediumBelirli İntegral ve Özellikleri
f(x)+f(−x)=3x2+4f(x) + f(-x) = 3x^2 + 4 eşitliğini sağlayan sürekli bir ff fonksiyonu için ∫−22f(x) dx\int_{-2}^{2} f(x) \, dx belirli integralinin değeri kaçtır?

Answer: 16

Answer

Belirli integralin değeri 16'dır.
Verilen eşitliğin integralini alıp sol tarafta değişken değiştirme kullanarak her iki terimin de aynı integral değerini verdiğini gösteririz. Bu da bizi doğru cevap olan 16 değerine ulaştırır.

Step-by-Step Solution

1
Eşitliğin her iki tarafının [−2,2][-2, 2] aralığında belirli integralini alırız.
∫−22(f(x)+f(−x)) dx=∫−22(3x2+4) dx\int_{-2}^{2} (f(x) + f(-x)) \, dx = \int_{-2}^{2} (3x^2 + 4) \, dx
Eşit iki ifadenin aynı sınırlar altındaki belirli integralleri de birbirine eşit olmalıdır.
2
Eşitliğin sağ tarafındaki belirli integrali hesaplarız.
∫−22(3x2+4) dx=[x3+4x]−22=(8+8)−(−8−8)=16−(−16)=32\int_{-2}^{2} (3x^2 + 4) \, dx = \left[ x^3 + 4x \right]_{-2}^{2} = (8 + 8) - (-8 - 8) = 16 - (-16) = 32
Belirli integralin temel teoremini kullanarak sınır değerlerini fonksiyonda yerine yazarız.
3
∫−22f(−x) dx\int_{-2}^{2} f(-x) \, dx integralinde u=−xu = -x değişken değiştirmesi uygularız.
du=−dxdu = -dx olur. Sınırlar için; x=−2x = -2 iken u=2u = 2 ve x=2x = 2 iken u=−2u = -2 olur. Buradan ∫−22f(−x) dx=∫2−2f(u) (−du)=∫−22f(u) du=∫−22f(x) dx\int_{-2}^{2} f(-x) \, dx = \int_{2}^{-2} f(u) \, (-du) = \int_{-2}^{2} f(u) \, du = \int_{-2}^{2} f(x) \, dx elde edilir.
Değişken değiştirme yöntemiyle integralin sınırlarını ve diferansiyelini uu cinsinden yazıp integralin yönünü değiştirerek eksiyi yok ederiz.
4
Eşitliğin sol tarafındaki iki integralin birbirine eşit olduğunu kullanarak sonucu buluruz.
∫−22f(x) dx+∫−22f(−x) dx=2∫−22f(x) dx=32  ⟹  ∫−22f(x) dx=16\int_{-2}^{2} f(x) \, dx + \int_{-2}^{2} f(-x) \, dx = 2 \int_{-2}^{2} f(x) \, dx = 32 \implies \int_{-2}^{2} f(x) \, dx = 16
Elde edilen sonuçları birleştirerek aranan integralin değerini yalnız bırakırız.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme ve sınırların güncellenmesi özellikleri
Rate this question

Topics

Belirli İntegral ve Özellikleri

More questions from this topic