Examkin

Question

Difficulty: HardÜstel ve Logaritmik Eşitsizlikler
xx bir tam sayı olmak üzere,
log⁡12(x−3)+3log⁡2(15−x)−3≥0\frac{\log_{\frac{1}{2}}(x - 3) + 3}{\log_2(15 - x) - 3} \geq 0
eşitsizliği veriliyor.
Buna göre, bu eşitsizliği sağlayan farklı xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
  1. A
    15
  2. B
    38
  3. C
    50
  4. 65Answer
  5. E
    72

Answer

Eşitsizliği sağlayan farklı xx tam sayılarının toplamı 65'tir.
Eşitsizliğin çözüm kümesi, pay ve paydanın tanım kümeleri olan x>3x > 3 ve x<15x < 15 aralığında incelenmelidir. Paydanın kökü x=7x = 7 (açık aralık olmalıdır) ve payın kökü x=11x = 11 (dahil edilmelidir) kullanılarak işaret tablosu oluşturulduğunda pozitif olan bölgeler (3,7)(3, 7) ve [11,15)[11, 15) aralıklarıdır. Bu aralıklardaki tam sayıların toplamı 65 değerini verir.

Step-by-Step Solution

1
Tanım Kümesinin Belirlenmesi
Logaritma fonksiyonlarının tanımlı olabilmesi için logaritma içleri pozitif olmalıdır:
x−3>0  ⟹  x>3x - 3 > 0 \implies x > 3
15−x>0  ⟹  x<1515 - x > 0 \implies x < 15
Ayrıca payda sıfır olamaz:
log⁡2(15−x)−3≠0  ⟹  15−x≠8  ⟹  x≠7\log_2(15 - x) - 3 \neq 0 \implies 15 - x \neq 8 \implies x \neq 7
Buradan genel tanım kümesi: D=(3,7)∪(7,15)D = (3, 7) \cup (7, 15) olarak elde edilir.
Logaritmik eşitsizliklerin çözüm kümesi, fonksiyonların en geniş tanım kümesiyle kesiştirilmelidir.
2
Payın Kökünün ve İşaretinin Bulunması
Payın kökü:
log⁡12(x−3)+3=0  ⟹  log⁡12(x−3)=−3  ⟹  x−3=(12)−3=8  ⟹  x=11\log_{\frac{1}{2}}(x - 3) + 3 = 0 \implies \log_{\frac{1}{2}}(x - 3) = -3 \implies x - 3 = (\frac{1}{2})^{-3} = 8 \implies x = 11
Taban 12<1\frac{1}{2} < 1 olduğundan, x>11x > 11 için pay negatif, x<11x < 11 için pay pozitif değerler alır.
Payın işaret değişim noktalarını belirlemek için kök bulunur ve taban basit kesir olduğu için azalanlık özelliği dikkate alınır.
3
Paydanın Kökünün ve İşaretinin Bulunması
Paydanın kökü:
log⁡2(15−x)−3=0  ⟹  log⁡2(15−x)=3  ⟹  15−x=8  ⟹  x=7\log_2(15 - x) - 3 = 0 \implies \log_2(15 - x) = 3 \implies 15 - x = 8 \implies x = 7
Taban 2>12 > 1 ve logaritma içi azalan (15−x15-x) olduğundan, x>7x > 7 için payda negatif, x<7x < 7 için payda pozitif değerler alır.
Paydanın işaret değişim noktalarını belirlemek için kök bulunur ve 15−x15-x ifadesinin azalanlığı dikkate alınır.
4
İşaret Tablosunun Yapılması ve Çözüm Kümesinin Bulunması
Kritik noktalar olan 3,7,11,153, 7, 11, 15 değerlerine göre işaret tablosu oluşturulur:
- 3<x<73 < x < 7 aralığında: Pay (+)(+), Payda (+)  ⟹  (+) \implies Oran (+)(+)
- 7<x<117 < x < 11 aralığında: Pay (+)(+), Payda (−)  ⟹  (-) \implies Oran (−)(-)
- 11≤x<1511 \leq x < 15 aralığında: Pay (−)(-), Payda (−)  ⟹  (-) \implies Oran (+)(+)
Eşitsizlikte sıfıra eşitlik ve büyüklük istendiği için çözüm kümesi: S=(3,7)∪[11,15)S = (3, 7) \cup [11, 15) olarak bulunur.
Pay ve paydanın işaretlerinin bölümleri incelenerek eşitsizliği sağlayan aralıklar belirlenir.
5
Tam Sayı Değerlerinin Toplanması
(3,7)(3, 7) aralığındaki tam sayılar: 4,5,64, 5, 6
[11,15)[11, 15) aralığındaki tam sayılar: 11,12,13,1411, 12, 13, 14
Tüm bu tam sayıların toplamı:
4+5+6+11+12+13+14=654 + 5 + 6 + 11 + 12 + 13 + 14 = 65 bulunur.
Eşitsizliği sağlayan farklı xx tam sayılarının toplamı istenmektedir.

Key Concept

Logaritmik eşitsizliklerin çözümünde tabanın 1'den büyük veya 0-1 arasında (basit kesir) olması durumuna göre eşitsizlik yönünün incelenmesi, payda köklerinin hariç tutulması ve tanım kümesi sınırlamalarının eşitsizlik tablosuna entegre edilmesi.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler

More questions from this topic