Examkin

Question

Difficulty: MediumBelirli İntegral ve Özellikleri
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir ff fonksiyonu için
∫02f(2x) dx=6\int_{0}^{2} f(2x) \, dx = 6
∫06f(x) dx=18\int_{0}^{6} f(x) \, dx = 18
e��itlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫23f(2x) dx+∫46f(x) dx\int_{2}^{3} f(2x) \, dx + \int_{4}^{6} f(x) \, dx
integralinin değeri kaçtır?

Answer: 9

Answer

İstenen belirli integrallerin toplam değeri 9'dur.
Verilen ilk integralde 2x=u2x = u değişken değiştirmesi yapıldığında sınırların [0,4][0, 4] aralığına güncellendiği ve integralin değerinin 12 olduğu görülür. Toplam integral tanım aralığı [0,6][0, 6] olduğundan, aralık bölme özelliğiyle [4,6][4, 6] aralığındaki integral değeri 6 olarak bulunur. Sorulan ifadedeki 2x=t2x = t değişken değiştirmesiyle ilk terimin [4,6][4, 6] aralığındaki integralin yarısı (yani 3) olduğu elde edilir. Bu değer ile [4,6][4, 6] aralığındaki integralin kendisinin (yani 6) toplamı 9 sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

1
∫02f(2x) dx=6\int_{0}^{2} f(2x) \, dx = 6 integralinde u=2xu = 2x değişken değiştirmesi yapılması
∫04f(x) dx=12\int_{0}^{4} f(x) \, dx = 12
u=2x  ⟹  du=2 dx  ⟹  dx=du2u = 2x \implies du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2} olur. Sınırlar ise x=0x = 0 için u=0u = 0 ve x=2x = 2 için u=4u = 4 olarak güncellenir. Buradan 12∫04f(u) du=6\frac{1}{2} \int_{0}^{4} f(u) \, du = 6 eşitliğinden ∫04f(x) dx=12\int_{0}^{4} f(x) \, dx = 12 elde edilir.
2
∫06f(x) dx=∫04f(x) dx+∫46f(x) dx\int_{0}^{6} f(x) \, dx = \int_{0}^{4} f(x) \, dx + \int_{4}^{6} f(x) \, dx özelli��inin kullanılması
∫46f(x) dx=6\int_{4}^{6} f(x) \, dx = 6
[0,6][0, 6] aralığındaki integral, bilinen [0,4][0, 4] aralığı ve bilinmeyen [4,6][4, 6] aralığı olarak ikiye bölünür. 18=12+∫46f(x) dx18 = 12 + \int_{4}^{6} f(x) \, dx eşitliğinden aranan kısım 66 bulunur.
3
∫23f(2x) dx\int_{2}^{3} f(2x) \, dx integralinde t=2xt = 2x dönüşümü yapılarak ifadenin hesaplanması
∫23f(2x) dx+∫46f(x) dx=9\int_{2}^{3} f(2x) \, dx + \int_{4}^{6} f(x) \, dx = 9
t=2x  ⟹  dx=dt2t = 2x \implies dx = \frac{dt}{2} olur. Sınırlar x=2x = 2 için t=4t = 4 ve x=3x = 3 için t=6t = 6 olur. İntegral 12∫46f(t) dt=12⋅6=3\frac{1}{2} \int_{4}^{6} f(t) \, dt = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3 değerini alır. Toplam ise 3+6=93 + 6 = 9 olur.

Key Concept

Belirli integralde değişken değiştirme ve aralık bölme özellikleri
Rate this question

Topics

Belirli İntegral ve Özellikleri

More questions from this topic