Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir f fonksiyonu için, \int_{1}^{4} f(x) \, dx = 6 \int_{2}^{5} f(x) \, dx = 8 \int_{3}^{6} f(x) \, dx = 10 \neşitlikleri veriliyor. Buna göre, \int_{2}^{5} f(x - 1) \, dx integralinin değeri kaçtır?

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir f fonksiyonu için, \int_{1}^{4} f(x)… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir $f$ fonksiyonu için,

\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 6

\int_{2}^{5} f(x) \, dx = 8

\int_{3}^{6} f(x) \, dx = 10

eşitlikleri veriliyor. Buna göre,

\int_{2}^{5} f(x - 1) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Doğru yanıt olan integral değeri 6'dır.

İntegral değişkeni

u = x - 1

olarak seçildiğinde diferansiyel

du = dx

olur. Sınırlar güncellendiğinde alt sınır

2 - 1 = 1

, üst sınır ise

5 - 1 = 4

olur. Böylece integral

\int_{1}^{4} f(u) \, du

şekline dönüşür. Bu integralin değeri soruda verilen ilk eşitlikte 6 olarak tanımlanmıştır.

Değişken değiştirme tanımlama

u = x - 1

dönüşümü yapılır. Bu durumda her iki tarafın diferansiyeli alınırsa

du = dx

elde edilir.

İntegral içindeki ifadeyi bilinen fonksiyon biçimine getirmek için bu dönüşüm gereklidir.

İntegral sınırlarını güncelleme

Alt sınır için:

x = 2 \implies u = 2 - 1 = 1

. Üst sınır için:

x = 5 \implies u = 5 - 1 = 4

Belirli integralde değişken değiştiğinde sınırların da yeni değişken cinsinden hesaplanması gerekir.

Yeni integrali hesaplama

\int_{2}^{5} f(x - 1) \, dx = \int_{1}^{4} f(u) \, du

olur. Soruda verilen bilgiye göre bu integralin değeri 6 olarak bulunur.

Belirli integralde değişken adının değişmesi integralin değerini değiştirmez.

Belirli integralde değişken değiştirme ve sınırların güncellenmesi