Examkin

Question

Difficulty: HardYarım Açı Formülleri
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) olmak üzere,
1+sin⁡(2x)−1−sin⁡(2x)=−65\sqrt{1 + \sin(2x)} - \sqrt{1 - \sin(2x)} = -\frac{6}{5}

olduğuna göre, tan⁡x\tan x değeri kaçtır?

  1. −43-\frac{4}{3}Answer
  2. B
    −34-\frac{3}{4}
  3. C
    −45-\frac{4}{5}
  4. D
    −35-\frac{3}{5}
  5. E
    43\frac{4}{3}

Answer

−43-\frac{4}{3}
Verilen denklemde karekök içindeki ifadeler tam kare olarak yazılıp mutlak değer dışına çıkarıldığında, x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığı için sin⁡x+cos⁡x>0\sin x + \cos x > 0 ve sin⁡x−cos⁡x>0\sin x - \cos x > 0 olduğu görülür. Buradan denklem 2cos⁡x=−652\cos x = -\frac{6}{5} haline gelir ve cos⁡x=−35\cos x = -\frac{3}{5} bulunur. İkinci bölgede sin⁡x=45\sin x = \frac{4}{5} olduğundan, tan⁡x=−43\tan x = -\frac{4}{3} olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Kök içlerindeki ifadeleri tam kare biçiminde yazma
1+sin⁡(2x)=sin⁡2x+cos⁡2x+2sin⁡xcos⁡x=(sin⁡x+cos⁡x)21 + \sin(2x) = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x = (\sin x + \cos x)^2

1−sin⁡(2x)=sin⁡2x+cos⁡2x−2sin⁡xcos⁡x=(sin⁡x−cos⁡x)21 - \sin(2x) = \sin^2 x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x = (\sin x - \cos x)^2
Kareköklü ifadeleri sadeleştirmek ve mutlak değer dışına çıkarmak için.
2
İfadeleri karekök dışına mutlak değer ile çıkarma
(sin⁡x+cos⁡x)2=∣sin⁡x+cos⁡x∣\sqrt{(\sin x + \cos x)^2} = |\sin x + \cos x|

(sin⁡x−cos⁡x)2=∣sin⁡x−cos⁡x∣\sqrt{(\sin x - \cos x)^2} = |\sin x - \cos x|
Karekök dışına çıkan çift dereceli köklü ifadelerin işaret kontrolünün yapılması gerektiği için.
3
Verilen açı aralığına göre mutlak değerlerin işaretlerini belirleme
x∈(π2,3π4)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}\right) aralığında:

1. sin⁡x>0\sin x > 0 ve cos⁡x<0\cos x < 0 dır.

2. Bu aralıkta sin⁡x>∣cos⁡x∣\sin x > |\cos x| olduğundan sin⁡x+cos⁡x>0\sin x + \cos x > 0 dır. Bu yüzden ∣sin⁡x+cos⁡x∣=sin⁡x+cos⁡x|\sin x + \cos x| = \sin x + \cos x olur.

3. sin⁡x\sin x pozitif, cos⁡x\cos x negatif olduğundan sin⁡x−cos⁡x>0\sin x - \cos x > 0 dır. Bu yüzden ∣sin⁡x−cos⁡x∣=sin⁡x−cos⁡x|\sin x - \cos x| = \sin x - \cos x olur.
Mutlak değerli ifadelerin işaretlerini doğru belirleyerek denklemi çözmek için.
4
Elde edilen ifadeleri denklemde yerine yazarak cos⁡x\cos x değerini bulma
(sin⁡x+cos⁡x)−(sin⁡x−cos⁡x)=−65(\sin x + \cos x) - (\sin x - \cos x) = -\frac{6}{5}

2cos⁡x=−65  ⟹  cos⁡x=−352\cos x = -\frac{6}{5} \implies \cos x = -\frac{3}{5}
Denklemin sol tarafını sadeleştirip tek bir trigonometrik fonksiyona bağlı hale getirmek için.
5
sin⁡x\sin x ve tan⁡x\tan x değerlerini hesaplama
sin⁡x=45\sin x = \frac{4}{5}

tan⁡x=sin⁡xcos⁡x=4/5−3/5=−43\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{4/5}{-3/5} = -\frac{4}{3}
Tanjant değerini elde etmek için kosinüs değerinden yararlanıp sinüsü bulmak ve oranlamak için.

Key Concept

Yarım açı formülleri yardımıyla tam kare ifadeler oluşturma ve verilen aralıkta trigonometrik fonksiyonların işaretlerini inceleme.
Rate this question

Topics

Yarım Açı Formülleri

More questions from this topic