Examkin

Question

Difficulty: MediumTrigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

Aşağıda verilen xx, yy ve zz değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

  1. 1z=cot⁡(17π6)z = \cot\left(\frac{17\pi}{6}\right)
  2. 2y=cos⁡(−13π5)y = \cos\left(-\frac{13\pi}{5}\right)
  3. 3x=sin⁡(760∘)x = \sin(760^\circ)

Answer

Trigonometrik değerlerin küçükten büyüğe sıralanışı z<y<xz < y < x şeklindedir.
Pozitif olan x değeri en büyüktür. Negatif olan y ve z değerlerinden mutlak değerce daha büyük olan z en küçük değerdir, dolayısıyla doğru sıralama z < y < x şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1
xx değerinin esas ölçüsünü bularak dar açı cinsinden ifade edin.
760∘760^\circ açısının esas ölçüsü, 760∘=2⋅360∘+40∘760^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 40^\circ eşitliğinden 40∘40^\circ olarak bulunur. Dolayısıyla x=sin⁡(40∘)x = \sin(40^\circ) olur. Bu değer birinci bölgede olduğundan pozitiftir.
Bölgelere göre indirgeme yapabilmek için öncelikle açıların esas ölçülerini bulmamız gerekir.
2
yy değerinin esas ölçüsünü bularak dar açı cinsinden ifade edin.
y=cos⁡(−13π5)=cos⁡(13π5)y = \cos\left(-\frac{13\pi}{5}\right) = \cos\left(\frac{13\pi}{5}\right) olur. 13π5=2π+3π5\frac{13\pi}{5} = 2\pi + \frac{3\pi}{5} olduğundan esas ölçü 3π5\frac{3\pi}{5} radyandır. Derece cinsinden 3⋅180∘5=108∘\frac{3 \cdot 180^\circ}{5} = 108^\circ olur. İkinci bölgede kosinüs negatif olduğundan y=cos⁡(108∘)=−cos⁡(72∘)y = \cos(108^\circ) = -\cos(72^\circ) olarak elde edilir.
Kosinüsün çift fonksiyon olma özelliğini ve ikinci bölgedeki işaret durumunu kullanırız.
3
zz değerinin esas ölçüsünü bularak dar açı cinsinden ifade edin.
17π6=2π+5π6\frac{17\pi}{6} = 2\pi + \frac{5\pi}{6} olduğundan esas ölçü 5π6\frac{5\pi}{6} radyandır. Derece cinsinden 5⋅180∘6=150∘\frac{5 \cdot 180^\circ}{6} = 150^\circ olur. İkinci bölgede kotanjant negatif olduğundan z=cot⁡(150∘)=−cot⁡(30∘)=−3z = \cot(150^\circ) = -\cot(30^\circ) = -\sqrt{3} olarak elde edilir.
Kotanjant fonksiyonunun ikinci bölgedeki işaretini ve indirgeme kuralını kullanırız.
4
Elde edilen ifadeleri işaretlerine ve mutlak değer büyüklüklerine göre sıralayın.
x=sin⁡(40∘)>0x = \sin(40^\circ) > 0, y=−cos⁡(72∘)<0y = -\cos(72^\circ) < 0 ve z=−3≈−1,73<0z = -\sqrt{3} \approx -1,73 < 0 bulunur. Negatif değerler karşılaştırıldığında, cos⁡(72∘)<1<3\cos(72^\circ) < 1 < \sqrt{3} olduğundan −3<−cos⁡(72∘)-\sqrt{3} < -\cos(72^\circ) olur. Buradan z<y<xz < y < x sıralamasına ulaşılır.
Pozitif sayılar negatif sayılardan büyüktür. Negatif sayılarda ise mutlak değerce daha büyük olan sayı daha küçüktür.

Key Concept

Trigonometrik oranların esas ölçülerinin bulunması, bölgelere göre işaret analizi ve indirgeme formüllerinin uygulanması.
Rate this question

Topics

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

More questions from this topic