Question

Difficulty: HardBasit Sarkaç

Sürtünmelerin ve hava direncinin önemsiz olduğu bir ortamda, boyu LL olan esnemeyen bir ipin ucuna bağlı noktasal cisimle oluşturulan basit sarkaç, düşey konumundan θ\theta açısı (θ<10\theta < 10^\circ) kadar saptırılarak serbest bırakılıyor. Sarkaç küresi, salınım hareketi yaparken düşey denge konumundan ilk kez geçtikten 0,15 s0,15\text{ s} sonra, denge konumundan genliğin yarısı kadar uzaklıktaki bir noktadan ilk kez geçiyor. Buna göre, basit sarkacın ip boyu (LL) kaç metredir? (g=10 m/s2g = 10\text{ m/s}^2 ve π=3\pi = 3 alınız.)

Answer: 0.9 m

Answer

Basit sarkacın ip boyu 0,9 metredir.
Denge konumundan genliğin yarısı kadar uzaklığa ulaşma süresi basit harmonik hareketin sinüzoidal doğası gereği T/12T/12'dir. Verilen 0,15 s0,15\text{ s} süre T/12T/12'ye eşitlenerek periyot 1,8 s1,8\text{ s} bulunur. Basit sarkaç periyot formülü olan T=2πLgT = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} ifadesinde g=10 m/s2g = 10\text{ m/s}^2 ve π=3\pi = 3 değerleri kullanılarak sarkaç ipinin boyu 0,9 m0,9\text{ m} olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Denge konumundan genliğin yarısına ulaşma süresinin periyot (TT) cinsinden değerini belirlemek.
Denge konumundan (x=0x=0) genliğin yarıs��na (x=x0/2x=x_0/2) ulaşma süresi t=T/12t = T/12 olarak bulunur.
Basit harmonik harekette uzanım denklemi x(t)=x0sin(ωt)x(t) = x_0 \sin(\omega t) olup, x0/2=x0sin(ωt)    sin(ωt)=1/2    ωt=π/6x_0/2 = x_0 \sin(\omega t) \implies \sin(\omega t) = 1/2 \implies \omega t = \pi/6 ve ω=2π/T\omega = 2\pi/T yazıldığında t=T/12t = T/12 elde edilir.
2
Hesaplanan ilişkiyi kullanarak sarkacın periyodunu (TT) bulmak.
Sarkacın periyodu T=1,8 sT = 1,8\text{ s} olarak bulunur.
Denge konumundan geçtikten ilk kez genliğin yarısına ulaşma süresi 0,15 s0,15\text{ s} olarak verilmiştir. Buradan T/12=0,15    T=1,8 sT/12 = 0,15 \implies T = 1,8\text{ s} elde edilir.
3
Basit sarkaç periyot formülünü uygulayarak ipin boyunu (LL) hesaplamak.
Sarkacın ip boyu L=0,9 mL = 0,9\text{ m} olarak bulunur.
T=2πLgT = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} formülünde verilen değerler yerine yazıldığında, 1,8=23L10    0,3=L10    0,09=L10    L=0,9 m1,8 = 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{\frac{L}{10}} \implies 0,3 = \sqrt{\frac{L}{10}} \implies 0,09 = \frac{L}{10} \implies L = 0,9\text{ m} sonucuna ulaşılır.

Key Concept

Basit sarkacın periyodu ve basit harmonik harekette konum-zaman ilişkisi.
Estimated Time:2m 0s
Rate this question